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1、【中考数学几何变形题归类辅导】专题3：截长补短法【典例引领】例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BFMN于点F。（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。【答案】图2结论：AFBF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE【分析】（1）过点B作BGOE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=G
2、E，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBG，然后利用“角角边”证明AOE和OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AFEF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BGOE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBG，然后利用“角角边”证明AOE和OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AFEF=AE，整理即可得证；
3、选择图3同理可证【解答】（1）证明：如图，过点B作BGOE于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE=OBG，在AOE和OBG中，AOEOBG（AAS），OG=AE，OE=BG，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF，AFOE=OEBF，AF+BF=2OE；（2）图2结论：AFBF=2OE，图3结论：AFBF=2OE对图2证明：过点B作BGOE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=
4、90，BGOE，OBG+BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE=OBG，在AOE和OBG中，AOEOBG（AAS），OG=AE，OE=BG，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，AFOE=OE+BF，AFBF=2OE；若选图3，其证明方法同上【强化训练】1、（2018黑龙江龙东地区）如图，在RtBCD中，CBD=90，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EFEA，交CD所在直线于点F.（1） 当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BCDE=22DF.（2） 当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3
5、）所示。线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.【答案】(1)答案见解答（2）图（2）DEBC=22DF图（3）BC+DE=22DF【分析】为了证明图（2）的结论，需要构造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.连接EH，再证AHEEDF，即可得出结论图（3）同理可证【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BEBC=AB=BD，BE=BH，AH=ED，AEF=ABE=90，AEB+FED=90，AEB+BAE=90，FED=HAE，BHE=CDB=45，AHE=EDF=135，AHEEDF，EH=DF，BCDE=BDDE=BE=22EH
6、EH=DFBCDE=22DF（3） 解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH可得：DEBC=22DF如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE同法可证：DF=HE，可得BC+DE=22DF2如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FNBC.（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y。求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-12x2+
7、2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题【解答】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在A
8、GE和ECF中，AGE=ECFAG=ECGAE=CEF ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，SECF=12 (BC-BE)FN，即y=12 x(4-x），y=- 12x2+2x（0x4)，y=-12x2+2x=-12(x2-4x)=-12(x-2)2+2，3阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，在三角形内取一点D，ADAC，CAD30，求ADB小明通过探究发现，DABDCB15，BCAD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使
9、CEAB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决（1）按照小明思路完成解答，求ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图2，ABC中，ABAC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若DHCEDG2G在图中找出与DEC相等的角，并加以证明；若BGkCD，猜想DE与DG的数量关系并证明【答案】（1）135;（2）HDCDEC;猜想DGkDE.【分析】（1）根据辅助线证得DABBCE，则ADBCBE（还不能直接求得，考虑全等的其他等边等角），ABDE，BDBE，得到BDEEABD考虑引入未知数，设CBDx，则EABDBD
10、Ex+15，利用ABCABD+CBD求得x，再由周角求得结果（2）DEC是DEH的外角，等于DHC+HDE，而DHCEDG，等量代换得DECEDG+HDEHDC由条件DHCEDG2G，在FG上方构造2G即FGMFGD，则EDGMGD，令M落在BA延长线上，加上BACB，即得BGMCDE，有MGDE=BGCD=k又通过三角形内角和求得MHDC，证得MFGDFG，有MGDG，得证【解答】（1）延长CD至点E，使CEAB，连接EB，ACB90，ACBCCABCBA45ADAC，CAD30BCAD，ACDADC180-CAD275，DABCABCAD15BCDACBACD15即DABBCD在DAB与B
11、CE中，AD=BCDAB=BCDAB=CEDABBCE（SAS）ADBCBE，ABDE，BDBEBDEE设CBDx，则ABD45x，BDEBCD+CBD15+xABDEBDE15+xABCABD+CBD4515+x+x，得：x15CDB180BCDCBD1801515150ADB360ADCCDB36075150135（2）HDCDEC，证明如下：DHCEDGHDCHDE+EDGHDE+DHCDECHDCDEC猜想DGkDE，证明如下：在FG的上方作FGMFGD，使FGM的一边与BA延长线交于MDHCEDG2FGDDHCEDGMGDABACBACBM180BMGD180ACBEDCDECMHD
12、C在MFG与DFG中，M=HDCMGF=DGFFG=FGMFGDFG（AAS）MGDGBACB，EDGMGDBGMCDEBGCD=MGDEBGkCDMGDE=kCDCD=KDGMGkDE4【问题情境】在ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF 图 图 图证明思路是：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PE=CF（不要证明）【变式探究】当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理
13、由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【答案】【变式探究】CF=PE-PD. 【结论运用】4【分析】【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题【结论运用】过作利用问题情境中的结论可得，易证只需求即可【解答】【变式探究】：连接 PDAB，PEAC，CFAB， 【结论运用】过作垂足为 ，如图，四边形是长方形， 由折叠可得： 四边形是长方形 ADBC， 由问题情境中的结论可得： 的值为4
