《中考数学——动态问题之动点折叠类问题中落点“有迹性”问题探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学——动态问题之动点折叠类问题中落点“有迹性”问题探究（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 动点折叠类问题中图形存在性及落点“有迹性”问题一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题主要有
2、等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目依据落点定折痕建立模型设出未知数列方程求解得到结论.落点“有迹性”问题该类问题是题目中给了旋转或翻折条件，落点落在某条直线、射线、弧线或图形的边上，求未知线段的长度.解题思路：借助圆规，以不动线段为切入点，作出图形，进而利用等腰三角形性质、勾股定理、三角函数、相似三角形等知识求解.我们选取部分真题及模考题，逐一分析此类题目的解题思路与方法，希望能带给各位老师及同学一些帮助. 二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（201
3、9金水区校级模拟）如图，AOB=90，点P为AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M关于射线OP对称，且直线MM与射线OA交于点N，当ONM为等腰三角形时，ON的长为 . 【分析】分三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即MN=MO，设ONM=x，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30，进而利用三角函数求得ON的长；当MN=ON时，作出图形，得到ONM度数，利用三角函数求解；当MO=ON=OM=，此时M、M、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解：由ONM为等腰三角形，分以下三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直
4、平分线上时，即MN=MO，如图所示，设ONM=x，则OMM=OMM =2x,AOB=90，x+2x=90，解得：x=30，在RtNOM中，ON=；当MN=ON时，如下图所示， 由知：NOM=30，过M作MHOA于H，HM=,在RtHNM中，NM=，即ON=1；当MO=ON=OM=，此时M、M、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：1或3.例2.（2019春包河区校级月考）如图所示，ABC中，ACB=90，ACBC，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，则B=.【分析】由题意知，CDF是
5、等腰三角形，则CD=CF，BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当DE=BD时，设B=x，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45；当BD=BE时，作出图形，设B=x，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30；当BE=DE时，得FDB=90，FDB+CDF=135180，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】45或30.【解析】解：由题意知，CDF是等腰三角形，则CD=CF，CDF=CFD=45，FDB=135，BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：当DE=BD时，见下图设B=x，则DEB=x，EDB=1802x，由折叠知：A=FDE=90x，1802x+
6、90x =135，解得：x=45，即B=45；当BD=BE时，如下图所示，设B=x，则EDB= ，由折叠知：A=FDE=90x，+90x =135，解得：x=30，即B=30；当BE=DE时，得B=EDB，FDB=FDE+EDB=A+B=90，FDB+CDF=135180，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：45或30.例3（2019河南）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=a. 连接AE，将ABE沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的值为【分析】由题意知，B的落点B只能落在矩形ABCD的边AD或CD上，因此
7、要分两种情况讨论；先确定落点B位置，再确定折痕，借助图形利用全等三角形及相似三角形（一线三直角模型）来达到解决问题的目的.【答案】45或30.【解析】解：（1）当点B落在边AD上时，如下图所示，由题意知：四边形ABEB为正方形，BE=AB=1，即，a=；（2）当点B落在边CD上时，如下图所示，由题意知：ADBECB，,即：，解得：DB=，BC=,a=故答案为：或.例4（2019卧龙区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将ABE沿AE折叠，得到ABE. 点B恰好落在射线CD上，则BE的长为. 【分析】首先作出射线CD，以A为圆心以AB为半径画弧，弧与射线CD
8、的交点即为B的位置，再作出BAB的平分线，即为折痕；然后根据勾股定理等知识求解.【答案】或15.【解析】解：（1）当B落在线段CD上时，如下图所示，由折叠知：AB=AB=5，AD=3，在RtADB中，由勾股定理得：DB=4，BC=1，设BE=x，则CE=3x，在RtBCE中，由勾股定理得：，解得：x=，即BE=；（2）当B落在线段CD延长线时，如下图所示，由折叠知：AB=5，AD=3，由勾股定理得：BD=4，BC=9，设BE=x，则BE=x，EC=x3，在RtBEC中，由勾股定理得：，解得：x=15，即BE=15；故答案为：或15.例5. 如图，在等边ABC中，AB=，点D在边AB上，且AD=
9、2，点E是BC边上一动点，将B沿DE折叠，当点B的对应点B落在ABC的边上时，BE的长为.【分析】首先根据题意确定出落点B的位置，再确定折痕，求得BE.确定落点的方法，以D为圆心，以DB长为半径画弧，与ABC的边的交点即为B位置，如下图所示.【答案】或6-2.【解析】解：（1）当点B在BC边上时，如下图所示，由题意知：BD=DB=，B=60，BDB是等边三角形，DEBB，BE=BD=；（2）当点B在AC边上时，如下图所示，过D作DFAC于F，A=60，AD=2，DF= ,又DB=DB=2=2DF，DBF=30，EBC=30，则EC= EB，BE+EC=2+2，即BE+BE=2+2，解得：BE=
10、6-2；故答案为：或6-2.例6. 如图，在等腰直角ABC中，AB=BC=3，点P在边AB上，且BP=1，点Q为边AC上的任意一点（不与A、C重合），将APQ沿PQ折叠，当点A的对应点A落在ABC的边上时，AQ的长为【分析】首先根据题意确定出落点A的位置，再确定折痕PQ的位置，利用勾股定理、三角函数等求得AQ. 确定落点的方法，以P为圆心，以AP长为半径画弧，与ABC的边的交点即为A位置，如下图所示.【答案】或.【解析】解：（1）当点A落在边AC上时，如下图所示，AB=BC=3，B=90，BP=1A=C=45，AP=2 由折叠知：APQ=QPA=45，AQ=PQ= ;（2）当点A落在边BC上时
11、，如下图所示，由题意知：BP=1，AP=AP=2，PAB=30，BPA=APQ=QPA=60，过Q作QHAP于H，设AH=QH=x，则PH=，x+=2，解得：x=，AQ=;故答案为：或.例7（2018红旗区校级一模）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将ABP沿AP折叠，当点B的对应点B落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于 【分析】线段BC的垂直平分线为一条直线，此题应先确定B位置，再确定折痕，求解. 确定落点的方法：作出线段BC的垂直平分线MN，以A为圆心，以AB为半径画弧，弧与直线MN的交点即为点B的位置.如下图所示，【答案】或
12、10. 【解析】解：由图可知点B落点有两个位置符合要求，（1）点B落在靠下位置时，如下图所示，过A作AHMN于H，设MN与BC交于点G，易知：AH=BG=4，AB=AB=5，由勾股定理得：BH=3，GH=AB=5，BG=2设BP=x，则BP=x，PG=4x，在RtPBG中，由勾股定理得：，解得：，即BP=;（2）点B落在靠上位置时，如下图所示，过A作AHMN于H，AB=AB=5，AH=4，GH=5,BH=3，BG=8，设BP=x，则BP=x，PG=x4，在RtPGB中，由勾股定理得：，解得：，即BP=10;故答案为：或10.例8. 矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且D
13、P=3，将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在的直线交矩形两边于点E、F，则EF长为.【分析】矩形边上存在两个点使得DP=3，此题有两种不同情况，即P在AD上或CD上. 依据题意画出图形，借助勾股定理等知识求解.【答案】6或.【解析】（1）当P点在边CD上时，如下图所示，由题意知：四边形BEPF是正方形，可得：EF=BE=6；（2）当点P在边AD上时，如下图所示，过F作FHAB于H，设AE=x, 则BE=PE=9x，在RtAEP中，由勾股定理，得：，解得：x=4，即AE=4，BE=PE=5，设FC=y，则DF=9x，在RtPDF和RtBFC中，由勾股定理得：，解得：x=3，即FC=BH=3，EH=2，FH=6，在RtEFH中，由勾股定理得：EF=，故答案为：6或.例9. 在矩形ABCD中，AB4，BC3，点P在AB上若将DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A处，则AP的长为 【分析】矩形对角线有两条，故此题分两种情况讨论，以D为圆心，以AD长为半径画弧，弧与对角线交点即为A，在画出折痕求解即可.【答案】.【解析】解：（1）点A落在矩形对角线BD上，如下图所示，AB4，BC3，由勾
