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1、中考数学压轴题之二次函数专题01 二次函数基础上的数学建模类 【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。【典例示范】类型一 临界点讨论例1：（2018河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x1）交于点A，且AB=1米运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平
2、距离是vt米（1）求k，并用t表示h；（2）设v=5用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围k=18，设h=at2，把t=1，h=5代入，a=5，h=5t2；（2）v=5，AB=1，x=5t+1，h=5t2，OB=18，y=5t2+18，由x=5t+1，则t=（x-1），y=（x-1）2+18=，当y=13时，13=（x-1）2+18，解得x=6或4，x1，x=6，把x=6
3、代入y=，y=3，运动员在与正下方滑道的竖直距离是133=10（米）；针对训练1（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，高度为3m，球场的边界距O点的水平距离为14m. （1）当h=4时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.【答案】(1) ;(2)见解析;(3) h.（2）答：球能越过球网且球会出界理由如下：由
4、（1）可知， 令x=9得y=3.5， 3.53 学科*网球能越过球网;令y=0得x=， 14 球会出界2（2017.山东）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑其它因素），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s（1）求y关于x的函数解析式； （2）足球的飞行高度能否达到4.88 m？请说明理由； （3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m（如图所示，足球的大小忽略不计）如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要
5、在几s内到球门的左边框？【答案】(1) y=-1.22x2+3.66x ;(2) 不能理由见解析;(3)2s.【解析】（1）观察抛物线的图像经过原点，因此设y关于x的函数关系式为y=ax2+bx，再将点（1，2.44），（3,0）代入函数解析式，可解答。学科*网（2）将y=4.88代入（1）中的函数解析式，解一元二次方程，根据方程解的情况作出判断。（3）将y=2.44代入函数解析式，求出x的值，根据题意得出符合条件的x的值，即可解答。解：（1）解：设y关于x的函数关系式为y=ax2+bx依题可知：当x=1时，y=2.44；当x=3时，y=0 ，y=-1.22x2+3.66x3（2019盘锦双台
6、子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面距离为3.05m.求抛物线的解析式.该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时他跳离地面的高度是多少？【答案】（1）；（2）他跳离地面的高度为0.2m.（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，y=-0.2x2+3.5，而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，h+2.05=-0.2（-2.5）2+3.5，h=0.2学科网答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m4（2017杭州月考）如
7、图所示,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，路面OA宽8m,P处有一照明灯，从O、A两处观测P处，仰角分别为、，且。以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系。（1）求P点坐标。（2）现有一辆货车，宽为4 m，高为2.5m，它能否安全通过这个隧道？说明理由。【答案】(1)P(6,3) ；(2)y=- ；可以通过.OPC和PAC是直角三角形， ，学*科网OC2PC，AC ，OAOC+CA，OA8， ，PC3，OC6，CA2，点P的坐标为（6，3）.5（2018保定三模）如图，儿童游乐场有一项射击游戏从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC正方形篮筐三个顶点为A（2，2），
8、B（3，2），D（2，3）小球按照抛物线yx2+bx+c 飞行小球落地点P 坐标（n，0）（1）点C坐标为 ；（2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）；（3）验证：随着n的变化，抛物线的顶点在函数yx2的图象上运动；（4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围【答案】（1）（3，3）；（2）顶点 N 坐标为（，）；（3）详见解析；（4）n 【解析】（1）由正方形的性质及A、B、D三点的坐标求得AD=BC=1即可得；（2）把（0，0）（n，0）代入y=-x2+bx+c求得b=n、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；（3）将点N的坐标
9、代入y=x2，看是否符合解析式即可；（4）根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当x=2时y3，当x=3时y2，据此列出关于n的不等式组，解之可得（3）由（2）把 x代入 yx2（）2 ，抛物线的顶点在函数 yx2的图象上运动；（4）根据题意，得：当 x2 时 y3，当 x3 时 y2， 即，解得：n6（2018河南周口期末）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？【答案】（1）y=0.04（x
10、10）2+4（2）0.76m【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（xh）2+k，由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=0.04（x10）2+4；（2）由题意得可设E（1，y），把E点坐标代入抛物线的解析式为y=0.04（x10）2+4，解得：y=0.76，学&科网DF=0.76m7.（2017扬州）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与
11、锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图所示（图是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径；（3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由【答案】（1）C1：y=x23（3x3）；C2：y=x2+1（3x3） （2）2 dm （3）锅盖能正常盖上，理由详见解析试题解析：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（-3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x-3）（x+3）；抛物线C1还经过D（0，-3），则有：-3=a（0
12、-3）（0+3），解得：a=即：抛物线C1：y=x2-3（-3x3）；抛物线C2还经过C（0，1），则有：1=a（0-3）（0+3），解得：a=-即：抛物线C2：y=-x2+1（-3x3）（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=-2，即x2-3=-2，解得：x=，学*科网此时水面的直径为2dm（3）锅盖能正常盖上，理由如下：当x=时，抛物线C1：y=（）2-3=-，抛物线C2：y=-（）2+1=，而-（-）=3，锅盖能正常盖上8. （2019盐城期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，把球看成点，其飞行的路线为抛物线的一部分如图建立平面直角坐标系，甲在O点正上方1m的P处发球，羽毛球飞行的高度y（m
13、）与羽毛球距离甲站立位置（点O）的水平距离x（m）之间满足函败表达式ya（x4）2+h已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m，球场边界距点O的水平距离为10m（1）当a时，求h的值，并通过计算判断此球能否过网（2）若甲发球过网后，乙在另一侧距球网水平距离lm处起跳扣球没有成功，球在距球网水平距离lm，离地面高度2.2m处飞过，通过计算判断此球会不会出界？【答案】（1）球能过网；（2）此球不会出界【详解】（1）当a时，y（x4）2+h，将点P（0，1）代入得：1（4）2+h，解得：h，学科*网y（x4）2+，来源:学科网ZXXK当x5时，y（54）2+，1.751.55，球能过网
14、9（2018湘潭期末）小明为了检测自己实心球的训练情况，再一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A的坐标为（0，），球在最高点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的解析式；（2）已知某市男子实心球的得分标准如表：得分16151413121110987654321掷远（米）8.68.387.77.36.96.56.15.85.55.24.84.44.03.53.0假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分；（3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由【答案】（1）y=（2）14分（3）有危险来源:学科网【解析】（1）根据a0，二次函数的自变量在对称轴左侧单调递减，可得答案；（2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论；（3）根据一次函数的性质，可得答案来源:学,科,网Z,X,X,K（2）将y=0代入y=得，x1=2，x2=8，
