《中考数学——动态问题之动点问题中的最值、最短路径问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学——动态问题之动点问题中的最值、最短路径问题(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数学,自数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目,无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变,而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想),本专题以几个基本的知识点为经,以历年来中考真题为纬,由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述 1. 两点之间,线段最短;2. 垂线段最短;3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点,P是某直线上一动点,当P、A、B在一条直线上时,最大,最大值为线段AB的长(如下图所示);4. 最
2、短路径模型(1)单动点模型作图方法:作已知点关于动点所在直线的对称点,连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示,P是x轴上一动点,求PA+PB的最小值的作图.(2)双动点模型P是AOB内一点,M、N分别是边OA、OB上动点,求作PMN周长最小值.作图方法:作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P、P,连接PP与动点所在直线的交点M、N即为所求.5. 二次函数的最大(小)值,当a0时,y有最小值k;当a0时,y有最大值k.二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. (详见精品例题解析)三、精品例题解析 例1. (2019凉山州)如图,正
3、方形ABCD中,AB=12,AE=3,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQEP,交CD于点Q,则CQ的最大值为 【答案】4. 【解析】解:PQEP,EPQ=90,即EPB+QPC=90,四边形ABCD是正方形,B=C=90,EPB+BEP=90,BEP=QPC,BEPCPQ,AB=12,AE=3,BE=9,设CQ=y,BP=x,CP=12x,(0x0)经过点A(1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.若点Q()在抛物线上,当的最小值为时,求b的值.【答案】见解析.【解析】解:经过点A(1,0),1+b+c=0,即点Q()在抛物线上,即,b0,Q点在第四象限,所以只要构造出即可
4、得到的最小值取N(1,0),连接AN,过M作MGAN于G,连接QM,如图所示,AGM为等腰直角三角形,GM=,即当G、M、Q三点共线时,GM+MQ取最小值,即取最小值,此时MQH为等腰直角三角形,QM=,GM= QH=MH,=,解得:m= 联立得:m=,b=4. 即当的最小值为时,b=4. 【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将转化为2,进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. (2019舟山)如图,一副含30和45角的三角板和拼合在个平面上,边与重合,当点从点出发沿方向滑动时,点同时从点出发沿射线方向滑动当点从点滑动到点时,点运动的路径长为;连接,则的面积最大值为【答案】【解析】解
5、:如图1所示,当E运动至E,F滑动到F时,图1过D作DGAC于G,DHBC交BC延长线于点H,可得EDG=FDH,DE=DF,RtEDGRtFDH,DG=GH,D在ACH的角平分线上,即C,D,D三点共线. 通过分析可知,当DEAC时,DD的长度最大,随后返回初始D点,如图2所示,D点的运动路径为DDD,行走路线长度为2DD;图2BAC=30,AC=12,DE=CDBC=,CD=DE=,由图知:四边形ECFD为正方形,CD=EF=12,DD=CD-CD=12-,D点运动路程为2DD=24-;图3如图3所示,当点D运动至D时,ABD的面积最大,最大面积为:=【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到
6、D点的运动轨迹是关键,利用三角函数及勾股定理求解,计算较为繁琐,尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高,此题难度较大,新颖不失难度.例6. (2019巴中)如图,在菱形ABCD中,连接BD、AC交于点O,过点O作OHBC于点H,以O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.(1)求证:DC是圆O的切线;(2)若AC=4MC,且AC=8,求图中阴影部分面积;(3)在(2)的前提下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.【答案】见解析.【解析】(1)证明:过点O作ONCD于N,AC是菱形ABCD的对角线,AC平分BCD,OHBC,ONCD,OH=ON,又OH为圆O的半径,ON为圆O的半径,即CD是圆O的切线.(2)由题意知:OC=2MC=4,MC=OM=2,即OH=2,在RtOHC中,OC=2OH,可得:OCH=30,COH=60,由勾股定理得:CH=(3)作点M关于直线BD的对称点M,连接MH交BD于点P,可知:PM=PM即PH+PM=PH+PM=HM,由两点之间线段最短,知此时PH+PM最小,OM=OM=OH,MOH=60,MMH=30=HCM,HM=HC=即PH+PM的最小值为;在RtMPO及RtCOD中,OP=OM tan30=,OD=OC tan30=,即PD=OP+OD=.