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1、1如图1，把两块全等的含45角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明APDCDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30角的三角板DEF(其中EDF30)的锐角顶点D与等腰ABC(其中ABC120)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC相交于点P，Q.写出图中的相似三角形_ _ (直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图
2、3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ，APD与DPQ是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由【答案】(1)APDCDQ； (2)成立，图见解析，理由见解析；(3)APDDPQ，理由见解析；(4)DEF满足EDF，ABC 满足顶角为(1802)的等腰三角形即可，理由见解析.【详解】(1)ABC=120，A=C=30，ADP+APD=150，ADP+QDC=150，APD=CDQ，APDCDQ，故答案为：APDCDQ； (3)APDDPQ，
3、理由如下：如图，APDCDQ，学科*网点D为AC的中点，CDAD，即，又PADPDQ30，APDDPQ； 2如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，AD8cm，直线 EF 从点 A 出发沿 AD 方向匀速运动，速度是 2cm/s，运动过程中始终保持 EFACF 交AD 于 E，交 DC 于点 F；同时，点 P 从点 C 出发沿 CB 方向匀速运动，速度是 1cm/s，连接 PE、PF，设运动时间 t（s）（0t4）（1）当 t1 时，求 EF 长；（2）求 t 为何值时，四边形 EPCD 为矩形；（3）设PEF 的面积为 S（cm2），求出面积 S 关于时间 t 的表达式；（4）在运动过程中，
4、是否存在某一时刻使 SPC F：S 矩形 ABCD3：16？若存在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）EF；（2）当 t 时，四边形 EPCD 为矩形；（3）St2+9t（0t4）；（4）存在，当 t2 时，SPCF：S 矩形 ABCD3：16（4）由S矩形ABCD=ABAD=48，且SPCF：S矩形ABCD=3：16知SPCF=9，再根据可得关于t的方程，解之可得【详解】解：（1）AB6cm，AD8cm，AC10cm，当 t1 时，AE2， 则 DE6，EFAC，DEFDAC，即 解得： 学科*网（2）由题意知 AE2t，CPt， 则 DE82t，四边形 EPCD 是矩形，
5、DECP，即 82tt， 解得 t ，故当 t时，四边形 EPCD 为矩形；（3）EFAC，DEFDAC，即 解得： 则 CFCDDF6（6t）t， 则 SS 梯形 DEPCSDEFSPCF（82t+t）6 （82t）（6t）ttt2+9t，即 St2+9t（0t4）； 3（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图，将BOC绕点O逆时针方向旋转得到BOC，OC与CD交于点M，OB与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想（2）如图，将（1）中的BOC绕点B逆时针旋转得到BOC，连接AO、DC，请猜想线段AO与DC的数量关系，并证明你的猜想来源:学科网ZXX
6、K（3）如图，已知矩形ABCD和RtAEF有公共点A，且AEF=90，EAF=DAC=，连接DE、CF，请求出的值（用的三角函数表示）【答案】（1）CM=BN，理由见解析；（2）DC=AO，理由见解析；（3）cos（2）如图，连接DC，根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，OBC=ABO=45，BOC=90，于是可判断ABC和OBC都是等腰直角三角形，则AC=AB，BC=BO，所以BD=AB；再根据旋转的性质得OBC=OBC=45，OB=OB，BC=BC，则BC=BO，所以=，再证明1=2，则可根据相似的判定定理得到BDCBAO，利用相似比即可得到DC=AO；（3）如图，根据余
7、弦的定义，在RtAEF中得到cosEAF=；在RtDAC中得到cosDAC=，由于EAF=DAC=，所以=cos，EAD=FAC，则可根据相似的判定定理得到AEDAFC，利用相似比即可得到=cos学科*网【详解】解：（1）CM=BN理由如下：如图，四边形ABCD为正方形，OB=OC，OBC=OCD=45，BOC=90，BOC绕点O逆时针方向旋转得到BOC，BOC=BOC=90，BOC+COC=90，而BOB+BOC=90，BOB=COC，在BON和COM中， 来源:学&科&网Z&X&X&KBONCOM（ASA），CM=BN；OBC=OBC=45，OB=OB，BC=BC，BC=BO，=，1+3=
8、45，2+3=45，1=2，BDCBAO，=，DC=AO；学&科网（3）如图，在RtAEF中，cosEAF=；在RtDAC中，cosDAC=，EAF=DAC=，=cos，EAF+FAD=FAD+DAC，即EAD=FAC，AEDAFC，=cos4类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.（1）尝试探究如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC边上一点，AE与BD交于点G，过点E作EFAE交AC于点F，若=2，则的值是 ；（2）拓展迁移如图（2），在矩形ABCD中，过点B作BHAC于点O，交AD相于点H，点E是BC边上一点
9、，AE与BH相交于点G，过点E作EFAE交AC于点F.若BAE=ACB，sinEAF=，求tanACB；若，=b（a0，b0），求的值（用含a，b的代数式表示）图（1） 图（2）【答案】（1）；（2）；（2）过E作ENAC于N，EMBD于M，根据四边形ABCD是矩形，过E作ENAC于N，EMBH于M，得到四边形OMEN是矩形，由MEGNEF，得到 由于ABCCNE，求出由于BEMBCO，得到 求出EM=aCN，即可得到结论【详解】(1)过E作ENAC于N，EMBD于M，四边形ABCD是正方形，学&科网ACBD,ACB=DBC=45，四边形OMEN是矩形，BEM与CEN是等腰直角三角形， =2,
10、EFAE，MEG=NEF，EMGENF， 故答案为：；学&科网(2) 过E作ENAC于N，EMBD于M，sinEAF= 设 则 容易证明 过E作ENAC于N，EMBH于M，BHAC，四边形OMEN是矩形，AEEF，MEG=NEF，MEGNEF,学科*网 ABCCNE， EMBH，ACBH，EMAC，BEMBCO， ON=EM， EM=aCN， 故答案为：5如图，在中，点在边上，且，已知， （1）求的度数； （2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；求的长；在直线或上是否存在点（点、除外），
11、使是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点，简要说明画出点的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由【答案】（1）36；（2）有三个：，是黄金三角形，存在，有三个符合条件的点、【详解】解：（1）则，设，则，又，；是黄金三角形，学*科网来源:学,科,网，存在，有三个符合条件的点、）以为底边的黄金三角形：作的垂直平分线分别交直线、得到点、）以为腰的黄金三角形：以点为圆心，为半径作弧与的交点为点6在ABC和ADE中，AB=AC，BAC=120，ADE=90，DAE=60，F为BC中点，连接BE、DF，G、H分别为BE，DF的中点，连接GH（1）如图1，若D在ABC的边AB上时，请直接写出线段GH与HF的
12、位置关系 ，= （2）如图2，将图1中的ADE绕A点逆时针旋转至图2所示位置，其它条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；（3）如图3，将图1中的ADE绕A点顺时针旋转至图3所示位置，若C、D、E三点共线，且AE=2，AC=，请直接写出线段BE的长 【答案】（1）GHHF，；（2）结论不变；（3）.【详解】解：（1）如图1中，连接DG，FGAB=AC，BF=CF，AF BC， BAF= CAF=60， ED AB， BFE= BDE=90，BG=GE，DG=BE，GF=BE，DG=FG，DH=HF，来源:学.科.网GH DF，学科*网 BAE=60， ABE+ AEB=120， DG=BG=GF=GE， GBD= GDB， GEF=GFE， BGD+ EGF=120， DGF=60， DGF是等边三角形，=tan60= 故答案为GH HF， =（2）结论不变理由：如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG ADE=90 AS=AE，DAE=DAS=60 BAC=SAE=120 SAB= EACAB=AC ABS ACE BS=CE， ABS=ACEF，G分别为BC，BE中点FGCE，FG=CE，（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，
