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1、. .第5讲 二次函数的图象和性质一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式： 一般式：（a、b、c为常数，a0） 顶点式：（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。 交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a0，（也叫两根式）。 2. 二次函数的图象 二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。 在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图
2、象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a0（a、h、k为常数，a0）a0a0a0a0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1
3、)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。(3)当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当xh时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当xh时，y有最大值 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最
4、值的方法 配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a0，y有最小值，当xh时，；若a0，y有最大值，当xh时，。 公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当 5. 抛物线与x轴交点情况： 对于抛物线 当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。 当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。二、考点归纳考点一 求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）1，f（1）1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。解答：法一：利用二次函数的一般式方程设f（x）ax2bxc（a0）
5、，由题意故得f（x）4x24x7。法二：利用二次函数的顶点式方程设f（x）a（xm）2n由f（2）f（1）可知其对称轴方程为，故m；又由f（x）的最大值是8可知，a25解答：函数f（x）4x2mx5在区间2，）上是增函数，则区间2，）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）9m25。选A。说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。 考点四 二次函数的性质的应用例4.设的定义域是n，n1（n是自然数），试判断的值域中共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函数在n，n1上是增函数。故故知：值域中共有2n2个整数。说明：本题利用了函数的单
6、调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。 考点五 二次函数的最值例5.试求函数在区间1，3上的最值。分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：3。解答：函数的对称轴I、当3即时：函数在1，3上为减函数，故综上所述：当时，；当时，；当时，；当时，。 考点六 方程的根或函数零点的分布问题例6.已知二次方程 的一个根比1大，另一个根比1小，试求的取值范围。解答：设，则； 例7.当为何实数时，关于的方程（I）有两个正实根；（II）有一个正实根，一个负实根。解答：（I）设，由方程有两个正实根，结合图像可知：（II）设，结合图像可知：说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布
7、问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。 考点七 三个“二次”的关系例8.已知关于的一元二次不等式的解集为，试解关于的一元二次不等式。解答：法一：由题意可知，一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根是1和2，故；又即关于的一元二次不等式的解集为。法二：，即关于的一元二次不等式的解集为。 考点八 二次函数的应用例9.（2003北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。（I
8、）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（II）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解答：（I）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，故租出了88辆；（II）设每辆车月租金定为元，则租赁公司的月收益为故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元。三、综合练习1、小李从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b24ac0；（2）c1；（3）ab0；（4）abc0. 你认为其中错误的有( )yxO（第4题）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 第1题2.已知二次函数经过点M（-1,2）和点N
9、（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C则( )； 该二次函数图像与y轴交与负半轴 存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上若以上说法正确的有：A B C D3、在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) Ay2(x + 2)22 By2(x2)2 + 2 Cy2(x2)22 Dy2(x + 2)2 + 24.如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D
10、8 5. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为 ( )xxxxx第7题图6. 把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 .7.如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax22ax+ （a0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为 第10题8. 老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x2时，y随x的增大而减小；丁：当x0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数_.9.已知关于x的函
11、数y（m1）x22xm图像与坐标轴有且只有2个交点，则m 10. 如图，已知P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当P与轴相切时，圆心P的坐标为 . OxAyHCy=x211. 如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A，过点A作AHx轴于点H.在抛物线y=x2 (x0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 _ .12. 我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问可以由通过_平移得到。13如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线(x0)于点N；作PMAN交双曲线(x0)于点M，连结AM.已知PN=4.（1）求k的值.（3分）（2）求APM的面积.（3分）14如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）. 15. 如
