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1、求函数值域的14种方法大盘点题型1 观察法方法通过观察如，或等函数的定义域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。步骤第1步：观察函数中的特殊函数；第2步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例题1 函数 的最大值是（）A. B. C. D. 【解析】第一步，观察函数中的特殊函数第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域： ，所以的最大值是，选D.变式1 函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【解析】，故，值域为，选D。【小结】算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。变式2 求函数的值域.【解析】2x0，082
2、x802故函数的值域是题型2 单调性法方法单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域步骤第1步：确定函数的定义域；第2步：求出函数的单调区间；第3步：确定函数的值域或最值.例题2 求函数的值域。【解析】，都是增函数，故是减函数，因此当时，又，。变式1 求函数的值域.【解析】第1步，将函数化成基本初等函数的形式：令，所以第2步，讨论函数的单调性：因为；所以在上是减函数，在上是增函数；第3步，讨论函数的单调性：又因为在定义域上是减函数；所以在上是增函数，在上是减函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以，所以函数的值域为
3、。【小结】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.变式2 求函数的值域【解析】第1步，将函数化成基本初等函数的形式：令，所以第2步，讨论函数的单调性：因为；所以在上是增函数，在上是减函数；第3步，讨论函数的单调性：又因为在定义域上是减函数；所以在上是减函数，在上是增函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以，所以函数的值域为。【小结】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.变式3
4、 求函数的值域.【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，所以函数的值域是变式4 函数f（x）=2+log3x（1x9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求g（x）值域【解析】由已知函数f（x）的定义域为xx|1x9，则g（x）的定义域满足，所以1x3，所以g（x）的定义域为x|1x3；，g（x）在x1，3单调递增，则g（x）的最大值为g（x）max=g（3）=13，g（x）的最小值为g（x）min=g（1）=6故g（x）的值域为6，13变式5 已知，且满足，则函数的值域为( )。A、 B、 C、 D、【解析】，则原式与同解，解之得，又，将代入中，得且，函数
5、在区间上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，当时，；当时，函数的值域为，选A变式6 函数对于任意实数、都有，且当时，求函数在区间上的值域。【解析】设，当时，,，。为增函数令令为奇函数，在区间上的值域为-4,2【小结】抽象函数值域的求法。题型3 奇偶性法方法适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；步骤第1步：凑出奇或偶的代数式第2步：根据奇偶性性质解题例题3 若都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（ ）A最小值B最大值C最小值D最大值【解析】、为奇函数，为奇函数又有最大值5，2在（0，）上有最大值32在上有最小值
6、3，在上有最小值1，选C变式1 设函数的最大值为，最小值为，则_.【解析】2变式2 设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.变式3 已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 （ ）A. 5 B. 3
7、C. 1 D. 5【解析】令，所以为奇函数，时，又时，故选C.【小结】本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数和 g(x)均为奇函数，则也为奇函数，构造函数,则为奇函数，借助在上的最大值得出的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出在上的最小值，进而得出在上的最小值.变式4 已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 【解析】因为中为奇函数关于对称,故关于对称,又在区间上有最大值5,故在上的最小值为变式5 已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 【解析】和均为奇函数，在上的最小值是，故选B变式6 已知函数和均为奇函
8、数, 在区间上有最大值,那么在上的最小值为 【解析】由得，令，则，为奇函数在区间(0,+)上有最大值5，即是奇函数，故选B变式7 函数x最大值为，最小值为，_【解析】,为奇函数，图象关于点对称， 最大值对应点与最小值对应点关于点对称，即2题型4 配方法方法型如()型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量的范围。步骤第1步：配方；第2步：借助图像或利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最值或边界点的函数值；第3步：结合二次函数的图像与性质，求得值域.小结若二次函数图像的顶点在定义域对应的区间内，则顶点的纵坐标一定是函数的一个最值，此外,若定义域为开区间，则函数可能没有最值.例题4 当1x
9、2时，求函数yx2x+1值域【分析】由二次函数性质知f（x）当1x2时，函数y单调递减，结合二次函数的性质可求.【解析】，对称轴为，故当1x2时，函数y单调递减，ymax11+11，ymin42+15，故函数yx2x+1值域为5，1变式1 已知函数，求函数的值域【分析】本题采用配方法求值域【解析】yf（x）f2（x）4f（x）+1f（x）223（x24x+12）23（x24x1）23（x2）23233函数的值域为3，+）变式2 求函数在，的值域【分析】因不知道a是否为0，所以分a0和a0两种情况讨论，又因对称轴把区间分成两部分，再分别求出值域取并集【解析】分a0和a0两种情况讨论，当a0时，f
10、（x）1，当a0时，f（x）a2x22a2x+1a2（x1）2+1a2，对称轴x1把区间1，2分成1，1，（1，2两部分，在1，1上函数f（x）是减函数，f（1）最大为（3a2+1），f（1）最小为（1a2），在（1，2上函数f（x）是增函数，f（2）最大，而f（2）f（1），综上所述，函数f（x）a2x22a2x+1在1，2的值域为：1a2，3a2+1变式3 定义在上的函数的值域是_【解析】第一步，将函数配方成：由+10+241第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为,所以1即函数的值域是变式4 函数的定义域是，值域为，求的范围【解析】因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时
11、,因此当时, .故当变式5 函数f(x)32log2x，g(x)log2x，当x1，4时，求h(x)f(x)1g(x)值域【解析】(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1，4，所以log2x0，2，故函数h(x)的值域为0，2变式6 已知1x2，求函数yf(x)323x19x的值域【解析】f(x)323x+19x(3x)263x3.令3xt，则yt26t3(t3)212.1x2， 1/3 t9. 当t3，即x1时，y取得最大值12；当t9，即x2时，y取得最小值24，即f(x)的最大值为12，最小值为24.函数f(x)的值域为24,12变式7 已知x，求求函数
12、y3（1-cos2x）4cosx4的值域【分析】将函数化简为，然后设，并且根据上一问得到的范围，写成关于的二次函数，根据二次函数求函数的最值【解析】原函数化为y3cos2x4cosx1，即，设，当时函数取得最小值，当时，函数取得最大值故y的值域为，变式8 已知函数（1）求函数的定义域和值域；（2）设（为实数），求在时的最大值；（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围【解析】由1+x0且1-x0，得-1x1,所以定义域为又由0 得值域为（2）因为令，则()+t=由题意知g(a)即为函数的最大值注意到直线是抛物线的对称轴因为a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一
13、段若，即则若，即则若，即则综上有（3）易得，由对恒成立，即要使恒成立，令，对所有的成立，只需 求出m的取值范围是题型5 分离常数法方法1、型如时，可化简成的格式2、型如的函数，可化简成格式步骤第1步：将函数关系式分子中含x的项分离，即使分子不含x项；第2步：确定分离后的函数关系式的单调性；第3步：借助函数的单调性，求的函数的值域.小结若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元再分离常数.例题5 （1）求函数的值域（2）已知函数，求的值域（1）【分析】本题宜用分离常数法求值域，将函数可以变为再由函数的单调性求值域【解析】由题函数的定义域为故函数的值域为（2）【分析】，化简后求值域【解析】，又，即则的值域为变式1 （1）求下列函数的值域：.（2）求函数的值域（1）【分析】利用分离变量法求解【解析】y=2x+3x+1=2+1x+1，x1，22+1x+12+12=52，y=2x+3x+1（x1）的值域为（
