《专升本《高等数学》易错题解析-第八章：多元函数微分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本《高等数学》易错题解析-第八章：多元函数微分法（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、多元函数微分学一、知识网络图二、典型错误分析例1.求错解 引入极坐标,并注意到,故原式错因分析 若, 则要求动点沿任何方向、任意方式趋于点时,函数均趋于A. 本题的以上解法仅反映了动点沿从原点引出的射线方向趋向于时,函数的极限是零,这不足以说明该函数的极限就是零.正确解法 由于 且 于是 例2.求错解 由于 于是 又 故 错因分析 未必成立,例如,取则正确解法 由于 于是 而 故 例3.设问在点处:(1)偏导数是否存在? (2)偏导数是否连续? (3)是否可微?错解 (1) 可见及都不存在.(2)显然可知及在处不连续.(3)由上述知在处不可微.错因分析 忽略了分段函数在其分界点处的偏导数必须利
2、用定义来求.正确解法 (1)由于故存在. 同理也存在且等于零.(2) 由于 可知该极限不存在. 同理可证不存在. 故及在处不连续.(3)注意: 函数的偏导数连续是函数可微的充分条件, 而不是必要条件,因此不能由(2)直接得出在处不可微.由于 且知 因而 故函数在处可微.例4.设,.试将,用的偏导数表示.错解 如下图,可知 故 又由 故 由,联立解之, 得其中错解分析由得到的是错的. 中等式左右两端的不能消掉,这是因为两者的含义截然不同. 等式左边的是在中把看作常量对求偏导而得;而等式右端的是把与看作相互独立的变量,即把看作常量对求偏导而得. 以后凡遇到一个变量即是自变量又是中间变量的情况,两边
3、对该变量的偏导数要写成不同的符号以示区别.正确解法 由前面图可知 解之, 可得其中.例5.设,而是由方程所确定的的函数,试求.错解 由,则 又由,则 将代入得 错因分析 没有弄清函数的关系是问题所在. 一般来说, 三个未知量两个方程所反映的函数关系是其中两个变量是另一个变量的函数.从所求之结果可知,均是的一元函数.正确解法由及确定出为的函数,将给定的两个方程的两边对求导,便有 解之, 得例6.设,且具有二阶连续的偏导数,求,.错解 错因分析在求二阶偏导数时,把仅仅看作是或的函数是不妥当的,事实上它们仍然是以为中间变量, 以为自变量的函数.正确解法 三、综合题型分析例7.证明极限不存在.分析 为
4、了证明二元函数在点处极限不存在,只需找出两条不同的路径和,使点在定义域D内沿和趋向于点时趋向于两个不同数值;或找出一条路径,使点在定义域D内沿趋向于点时的极限不存在.证明 因沿:,有,而沿:,有,故不存在.例8.分别讨论下列函数在其定义域中的连续性:(1) (2) 分析 题设的两个函数都是二元分段函数,当时它们分别是由自变量与自变量的一元基本初等函数经过四则运算得到的函数,利用已知一元函数的连续性知它们在处连续,在点是否连续,则需按二元函数连续性定义来判断.解(1) 当时连续, 但不存在,故在点处不连续.(2) 当时连续, 且由 以及.可得, 即在其定义域全平面上连续.注本例（）中的函数在点处
5、不连续, 但两个偏导数都存在且=;而函数则是在点处连续,但两个偏导数和都不存在. 这两个例子表明对多元函数而言,连续性与偏导数存在这二者是既不充分又不必要的条件.与一元函数的情况不大相同.例9.设则在点的值为_.答案 分析一 ,将该式对求导得令并代入上式,得.分析二 .例10 求下列极限(1) ; (2) 解 (1)由于因为 故原极限等于零.(2)令,则.又令,则故不存在.方法小结 二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多, 计算也更困难. 通常从以下三个方面考虑.(1)设法利用变换化为一元函数的极限;(2)掌握绝对值不等式的放缩技巧, 使用夹逼定理;(3)通过观察, 若能大致估计所求极限不存
6、在, 可选择两条不同路径, 求出不同的极限值, 借以证明原式极限不存在.例11设具有二阶连续偏导数, 求函数, 求,.分析本题给出的函数没有具体的表达式,这类函数称为抽象函数, 求抽象函数的偏导数, 一定要明确中间变量,中间变量可分别设为等. 一般来说,抽象函数的高阶偏导数采用如下记号较为简便不易出错,用记号分别表示函数对第一、第二、第三中间变量的偏导数(多个中间变量可类推).用分别表示函数对第一、第二中间变量，第二、第三中间变量，第三、第一中间变量的二阶偏导数. 另外需注意,一般而言,函数对中间变量的偏导数仍是中间变量的函数,从而也是自变量的复合函数, 故对它们求高阶偏导时重复使用复合函数求
7、偏导法则. 本题采用后一记号.解 例12设, ,求复合函数的偏导数与.解 由复合函数求导法,得.注 在本题的情况下, 记号的含意是不清楚的. 作为的三元函数求与作为的二元函数求的含意是不同的.因此,这里应避免使用记号,若要使用它,则必须对其含意加以说明.若表示对的偏导数,则该例中的偏导数,也可表示为.应用复合函数求导法则应注意以下几点:复合函数对指定的自变量求偏导数,其中是中间变量的个数.原则上函数有几个中间变量,公式中就有几项.要分清中间变量与自变量,一定要注意对哪个自变量求导,对中间变量求导, 对中间变量求导不要漏项.有时公式中右端项的项数比中间变量个数少,那是因为有的中间变量与求偏导数的
8、自变量无关,从而导数为零.如上例中.复合函数求导公式中,函数对中间变量的偏导数仍然是中间变量的函数,如设, 则这里仍然是的函数,而,. 于是,它们仍是的复合函数,求高阶偏导数时要注意这一点.例13. 设,其中具有二阶连续偏导数, 且, 求.分析隐函数求偏导数时,要弄清楚哪个是因变量, 哪个是自变量, 哪个是中间变量, 然后将方程两边对自变量求偏导, 再解相应的方程得出所出的偏导数.解 由所求结论可知是因变量, 又因只有一个方程, 可知均为自变量, 将方程 两边对求偏导, 有 由于与无关, 故 将式的两边对求偏导, 得将,代入上式并整理可得例14. 证明曲面的切平面通过一定点.分析所谓定点就是三
9、个坐标均为固定常数的点, 由题设考虑, 极有可能是以为坐标的点.证明 由方程有 其切平面方程为 即显然, 当时,上式恒成立,故所证命题成立.例15.设在区域上有定义,若在中任一点处的一阶偏导数存在且有界, 则在上连续.分析 由函数连续的定义可知, 若能证明 或 即可证明在中任一点处连续.证明 设为中任一点, 则 由于存在, 依据拉氏定理有 其中分别在与,与之间.又因在中有界, 故一个, 使得, 利用式, 有于是 故 即在点处连续. 由于在中的任一点处, 因而可知原结论成立.例16.求由方程确定的函数的极值.解法一 将方程的两边分别对求偏导, 得 由函数极值的必要条件知,将其代入得, 即得驻点.
10、由的两个方程分别对求偏导, 得 因为 故为极值.将代入方程,得将代入中可知故为极小值.将代入中可知故为极大值.解法二 配方法. 方程可变形为 显然, 当时, 根号中的极大值为4, 由此可知, 为极值.即为极大值, 为极小值.例17.当时, 求函数在球面上的最大值, 并证明对任意的正实数成立不等式解 令有由, 得代入,得 及可知最大值为即 亦即 或 令, 于是例18.设方程确定为的函数, 则=_答案解法一 设, 由公式,得解法二 , 方程两端对求导, 得,解得四、考研试题分析例19.(1991年数学一、二)由方程所确定的函数在点处的全微分_答案分析本题是隐函数全微分的题. 有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出, 另一种方法是先求出.再利用全微分公式 .解法一 对方程两边求全微分可得将代入上式可得由此得到解法二 设= ; =;=;将代入上式可得例20.(1998年数学一)设,具有二阶连续导数, 则=_.答案分析这是一道基本运算题, 求复合函数的导数. 依题意是一元函数.解答;点评本题中
