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1、北京市大兴区 2014 年高三统一练习数学（理科）本试卷分两部分，第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ， ，那么 等于1,0A10BxABA. B. C. D. ,(,)1,（2）复数 A. B. C. D. iii2ii（3）在极坐标系中，点 到直线 的距离是 A. B. C. 1 D. (1,0)()4R 2（4）将函数 的图像向左平移 个单位后，所
2、得图像的解析式是sin2yx6A. B. C. D.()3sin(2)3yxsin(2)6yxsin(2)6yx（5） “ ”是“ ”的0x1xA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）不等式组 在坐标平面内表示的图形的面积等于 A. B. C. D. 6,23yx 951835185（7）某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个（8）给出下列函数： ； ； ； 则12()fx()2xf2()logfx()sinfx满足关系式 的函数的序号是3()f A. B. C. D.
3、第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）椭圆 的离心率等于 . （10） .214xy1xd（11）在锐角 中, ， ， ，则角 _.ABCV3a4b3ABCSV（12）当圆 的圆心到直线 的距离最大时， 2+=ykxk（13）已知数列 n满足 ， 则 ； 前 2n 项和 122,1,nna为 偶 数为 奇 数， 56a2nS（14）如图所示，点 是圆 上的两点， ，点 D 是圆周上异于 A，B 的任意一点，线段 OD 与线段,O0交于点 .若 ，则 ；若 ，则 的取值范围是 ABCmABururOurur三、解答题共 6 小题，共 80
4、 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）已知 （I）求 的值；（II）求 的最大值以及取得最大值时()cos24infxx4f)(xf的值x（16） （本小题共 13 分）为了改善空气质量，某市规定，从 2014 年 3 月 1 日起，对二氧化碳排放量超过 130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行碳排放检 测，记录如下：（单位：g/km）甲 80 110 120 140 150乙 100 120 120 100 160（I）根据表中的值，比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性（写出判断过程） ；（II）
5、现从被检测的甲、乙品牌汽车中随机抽取 2 辆车，用 表示抽出的二氧化碳排放量超过 130g/km 的汽车数量，求的分布列注：方差 ，其中 为22221()()()nsxxxn的平均数12,nx（17） （本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，PABCDPABCD已知 是等腰直角三角形，其中 为直角，底面 是边长为 2 的正PDC方形， 是 的中点， 是 上的点 （I ）求证： 平面 ； （II）若EF E，求证： 平面 ； （III）求二面角 的大小 3BFBE（18） （本小题共 13 分）已知函数 ， .21()fx(lngx（）求 在点 处的切线方程；)(xfy0,（）设
6、函数 ，求证：对任意 ，都有 .()hg(0,)3()2hx（19） （本小题共 14 分）已知点 ，直线 ，动点 P 到点 F 的距离与到直线 的距离相等 （）求动点 P 的,1F1:xl l轨迹 C 的方程；（）直线 与曲线 C 交于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 D 使得四边形 FABD 为平行四边形，求 b 的值.:3myxb（20） （本小题共 13 分）对于各项均为正数的无穷数列 ，记 ，给出下列定义：若存在实数 ，nanab1()NM使 成立，则称数列 为“有上界数列” ；若数列 为有上界数列，且存在 ，使 成立，naM na 0n()an0则称数列 为“有最大值数列” ；
7、若 ，则称数列 为“比减小数列”.（）根据上述定义，判断数 01nbn列 是何种数列？（）若数列 中， ， ，求证：数列 既是有上界数列又是比减小1n2aa21 na数列；（）若数列 是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证： ， na N10nb理科参考答案一、选择 题二、填空 题(9) (10) 1 (11) (12) 0 (13) 7； (14) 1；3232n(,2三、解答题（15） 5()cos()4si()04().42f解 分： （ ）（II） ()cosini.fxxx 分2i1)3 7分.取最大值 38 分sin,i,2k Z因 为 所 以 当 即 时 ， (
8、)fx（16） （本题满分 13 分）解: （I）甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均数为: 18021405)25甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差为: 2 分2222221(80)(10)(1)(40)()65s甲乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均数为: 1015乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差为: 4 分2222221(0)(10)(10)(0)(6)485s乙因为样本的甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差比乙品牌的方差大,所以估计乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量比甲品牌稳定. 5 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B B A C B D C（II）由题意可知， 1 分0,12,
9、 , , 7 分02371()5CP1370()5CP20371()5CP随机变量 的分布列是8 分（17） （本题满分 14 分）证明：（）连结 AC 交 BD 于点 O，连结 EO,因为 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 中点 ,又因为 E 为 PC 中点，所以 EO 为CPA 的中位线,所以 EOPA .2 分因为 EO 平面 EDB , PA 平面 EDB,所以 PA平面 EDB.4 分（）因为侧面 PDC底面 ABCD,平面 PDC平面 ABCD=DC,又因为侧面 PDC 是等腰直角三角形，其中PDC 为直角所以 PDDC.又 PD 平面 PCD,所以 PD 平面 ABCD.又
10、 ADCD， 得 DA、DC、DP 两两垂直.如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz. 1 分D（0，0，0） ，P（0，0，2） ，B（2，2，0） ，E（0，1，1）A (2, 0, 0), C (0, 2, 0).设 F（x ，y ，z） ，由 得： 3PF2)xyz（ ， ， ） 3所以 ， ， ， 所以 . 2 分344(,)又 ， ， 所以 ，(,)B(0,1)E30PBE4 分 所以 ， ，且 于 。0PDF PBDEFD所以 平面 . 5 分（） 由（）知 PD平面 ABCD,又因为 AC 平面 ABCD,所以ACPD,又 ACBD,所以 AC平面 PBD.所以平面
11、 PBD 的法向量是 . 1 分)0,2(AC设平面 PBC 的法向量 (x,y,z) 由（）知 , 则有 所以 令n )2(PB(0,2)PC0nPBC02zyxz=1 得 n=(0,1,1) . 3 分 则 .4 分21,cos nA由图可知二面角 C-PB-D 的平面角为锐角,所以二面角 C-PB-D 的 大小为 . 5 分60（18） （本小题共 13 分）解：（） ，2 分12xf)(由题意 ， 4 分 所以切线方程为 5 分10)(fk4f 41xy（） ， （ ） = 2 分xxhln202xxh x)(12=0，得 3 分)(xf ),(21021),(21xh- 0 +)(减
12、 极小值 增5 分所以 = 6 分 即 8 分 21hxhx）（)(极 小 值min ln 213()lnllne2hx（19） （本小题共 14 分）解：（）依题意，动点 P 的轨迹 C 是以 为焦点， 为准线的抛物线 -2 分)0,(F1:l设轨迹 C 的方程为 ， 则 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 -4 分2pxy2 xy42（）解法一：因为 ，故直线 FD 的方程为 -1 分 联立方程组)0,1(F)(3xy xy)1(32消元得： ，解得 点的横坐标为 或 由抛物线定义知： 或 -332xD1pxFD分0 1 2()P75又由 消元得： 。设 ， ，234yxb 0432by)
13、,(1yxA),(2B则 且 -5 分 所以2211()()xy-7 分016321y b318因为 FABD 为平行四边形，所以 所以 或 ， -9 分FDAB4318b解得 或 ，代入 成立。-10 分1235b40（）解法二：因为 ，故直线 FD 的方程为 -1 分),(F)(xy联立方程组 消元得： ，解得 或 故点 或 -3xy2 0312x3)32,(D)2,1(分当 时，设 联立方程组 消元得： （*） )3,(D),(),(21yBAxyb42 0)4(22bxx根据韦达定理有 ， -5 分3421bx321x又因为四边形是平行四边形，所以 ， 将坐标代入有 -6 分FBD212x代入有 ， 代入有 整理得 -8152 31bb 1235b分此时（*）的判别式 ,符合题意-9 分 当 时，同理可解得 -
