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1、第五章 卡方检验,应用统计学,1,课件优选,卡方 (c2) 分布,设总体服从正态分布N (, 2 )， X1，X2，Xn为来自该正态总体的样本，则样本方差 s2 的分布为,将2(n 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布,主要适用于对拟合优度检验和独立性检验，以及对总体方差的估计和检验等,2,课件优选,卡方 (c2) 分布,3,课件优选,卡方 (c2) 分布的特点,不同容量样本的抽样分布,c2,1、 2分布是一个以自由度n为参数的分布族，自由度n决定了分布的形状，对于不同的n有不同的卡方分布 2、卡方分布于区间0, )，是一种非对称分布。一般为正偏分布,3、卡方分布的偏斜度随自由度降低而增大，当
2、自由度为1时，曲线以纵轴为渐近线；当自由度增大的时，分布曲线渐趋近左右对称，当自由度大于等于30的时候，卡方分布接近正态分布,4、卡方分布具有“可加性” X、Y 独立， X 2(n1) ，Y 2(n2) 则 X + Y 2(n1+ n2),4,课件优选,卡方 (c2) 分布的函数,CHIDIST：自由度为n的卡方分布在x点处的单尾概率 CHIINV： 返回自由度为n的卡方分布的单尾概率函数的逆函数,5,课件优选,2检验是以2分布为基础的一种假设检验方法，主要用于分类变量，根据样本数据推断总体的分布与期望分布是否有显著差异，或推断两个分类变量是否相关或相互独立。,卡方检验基础,6,课件优选,2值
3、的计算：,由英国统计学家Karl Pearson首次提出，故被称为Pearson 2 。,卡方检验基础,7,课件优选,检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布一致，如是否符合正态分布等 检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率 检验两个分类变量是否相互独立，如吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验控制某种或某几种分类变量因素的作用之后，另两个分类变量是否独立，如上例控制年龄、性别之后，吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验两种方法的结果是否一致，如两种诊断方法对同一批人进行诊断，其诊断结果是否一致,卡方检验基础用途,8,课件优选,卡方检验的用途,一个样本方差和 总体方差是否相同,同质性检验,适合性检验,
4、独立性检验,观察值和理论值是否符合,两个或两个以上因素之间是否相关,计数 资料 和 属性 资料,9,课件优选,一个样本方差的同质性检验,从标准正态总体中抽取k个独立u2之和为卡方2,其2服从自由度为(k-1)的卡方分布,当用样本平均数估计总体平均数时，有：,将样本方差代入，则：,10,课件优选,卡方函数的使用,假设,假设,假设,11,课件优选,例：已知某农田受到重金属污染，经抽样测定铅浓度分别为: 4.2, 4.5, 3.6, 4.7, 4.0, 3.8, 3.7, 4.2 (ug/g),方差为0.150, 试检验受到污染的农田铅浓度的方差是不是和正常浓度铅浓度的方差（0.065）相同,分析：
5、1）一个样本方差同质性检验 2）事先不知道受污染的农田与正常农田的铅浓度 方差的大小，故双尾检验,（2）选取显著水平,解：（1）假设 即受到污染的农田铅浓度的方差与正常农田铅浓度的方差相同，对,（3）检验计算,（4）推断：当df8-17，由CHIINV(0.025,7)16.01，即,否定H0，接受HA，即样本方差与总体方差试不同质的，认为受到污染的农田铅浓度的方差与正常农田的方差有显著差异,12,课件优选,卡方检验的原理和方法,Pearson定理：当（P1，P2，,Pk）是总体的真实概率分布时，统计量,随着n的增加渐近于自由度df=k-1的卡方分布。其中P1，P2，,Pk为k种不同属性出现的
6、频率，n为样本容量，ni为样本中第i种属性出现的次数，是观测值，记为Oi，pi为第i种属性出现的概率，npi则可以看成理论上该样本第i种属性出现的次数，理论值记为：Ei，即,13,课件优选,卡方检验的原理和方法,Pearson定理的基本含义： 如果样本确实是抽自由（P1，P2，,Pk）代表的总体，Oi和Ei之间的差异就只是随机误差，则Pearson统计量可视为服从卡方分布 反之，如果样本不是抽自由（P1，P2，,Pk）代表的总体，Oi和Ei之间的差异就不只是是随机误差，从而使计算出的统计量有偏大的趋势 因此，对Pearson统计量进行单尾检验（即右尾检验）可用于判断离散型资料的观测值与理论值是
7、不是吻合,14,课件优选,卡方检验的原理和方法,统计假设： H0：观测值与理论值的差异是由随机误差引起 HA：观测值与理论值之间有真实差异 所以卡方值是度量实际观测值与理论值偏南程度的一个统计量 卡方值越小，表明观测值与理论值越接近 卡方值越大，表明观测值与理论值相差越大 卡方值为0，表明H0严格成立，且它不会有下侧否定区，只能进行右尾检验,15,课件优选,卡方检验的原理和方法,由于离散型资料的卡方检验只是近似地服从连续型变量的卡方分布，所以在对离散型资料进行卡方检验计算的时，结果常常偏低，特别是当自由度df=1时，有较大偏差，为此需要进行矫正： 当自由度df1时，与连续型随机变量卡方分相近似
8、，这时可以不做连续性矫正 注意：要求各个组内的理论次数不小于5，如某组理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，知道理论次数大于5为止,16,课件优选,适合性检验,适合性检验（吻合性检验或拟合优度检验） 步骤： 1. 提出无效假设，即认为观测值和理论值之间没有差异 2. 规定显著性水平 3. 计算样本卡方值 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，再和实际计算的卡方值进行比较,17,课件优选,例：有一鲤鱼遗传试验，以荷包鲤鱼（红色，隐性）与湘江野鲤（青灰色，显性）杂交，其F2获得下表的所列的体色分离尾数，问这一资料的实际观测值是否符合孟德尔一对等位基因的遗传规律？ 鲤鱼遗传试验F
9、2观测结果,分析：1）适合性检验问题 2） 自由度为(2-1)=1，需要连续性矫正,（2）选取显著水平,解：（1）假设 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1,18,课件优选,（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值,（4）推断：由CHIDIST(301.63, 1)=1.45E-67,即 故应否定H0，接受HA，认为鲤鱼体色F2性状比不符合3:1比率,（4）推断：由CHIINV(0.025, 1)=5.02, 即 故应否定H0，接受HA，认为鲤鱼体色F2性状比不符合3:1比率,19,课件优选,独立性检验,步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间没有关联
10、 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显著的，不独立,20,课件优选,一、2X2列联表的独立性检验,设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、O22表示，即 2X2列联表的一般形式,21,课件优选,一、2X2列联表的独立性检验,2X2列联表的卡方检验步骤：,1、提出无效假设H0：事件A和B无关，即事件A和B相
11、互独立，同时给出HA：事件A和B有关联关系 2、给出显著水平 3、依据H0，可以推算出理论值，计算卡方值 4、进行推断,22,课件优选,例：现随机抽样对吸烟人群和不吸烟人群是否患有气管炎病进行了调查，其调查结果如下表，试检验吸烟与患气管炎病有无关联？ 不同人群患气管炎病调查,分析：1）独立性检验问题 2） 自由度为df=(2-1)*(2-1)=1，需要连续性矫正,（2）选取显著水平,解：（1）假设 吸烟与患气管炎无关 对 吸烟与患气管炎有关联,23,课件优选,（3）检验计算： 计算联表中的各项的理论次数,（4）推断：由CHIDIST(23.174, 1)=1.48E-6,即 故应否定H0，接受
12、HA，认为吸烟与患气管病极显著相关,（4）推断：由CHIINV(0.025, 1)=6.63, 即 故应否定H0，接受HA，认为吸烟与患气管炎病密切相关,24,课件优选,二、rXc列联表的独立性检验,rXc列联表是指r2, c2的计数资料，一般形式如下 rXc列联表的一般形式,25,课件优选,二、rXc列联表的独立性检验,rXc列联表中各项理论频率的计算方法如2X2列联表，即：Eij=(RiCj/T)，由于自由度df(r-1)( c-1),由于r2, c2，故自由度df1,因而不需要进行连续性矫正，其计算公式如下：,26,课件优选,例：某医院用碘剂治疗地方性甲状腺肿，不同年龄的治疗效果如下表，
13、试检验不同年龄的治疗效果有无差异？ 不同年龄用碘剂治疗甲状腺肿效果比较,分析：1）独立性检验问题 2） 自由度为df=(4-1)*(3-1)=6，不需要连续性矫正,（2）选取显著水平,解：（1）假设 治疗效果与年龄无关 对 治疗效果与年龄有关,27,课件优选,（3）检验计算： 计算联表中的各项的理论次数,（4）推断：由CHIDIST(46.988, 6)=1.88E-8,即 故应否定H0，接受HA，认为治疗效果与年龄极显著相关,28,课件优选,卡方 (c2) 检验的函数,CHITEST：相关性检验函数，得到相关性的概率值,29,课件优选,不同年龄用碘剂治疗甲状腺肿效果比较,计算联表中的各项的理论次数,Actual_range,CHITEST=3.81E-8,30,课件优选,课 后 作 业,书上84页： 习题 5.5 5.8,31,课件优选,
