时间贴现和跨期(1),董志勇 博士 北京大学经济学院,行为经济学第六讲,如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会偏好今天的一个苹果还是明天的呢？显然大部分人明显希望今天消费，而如果再要你考虑100天后和101天后消费一个苹果，也许答案就没有这么明显了，这其实就说明了人们在今天对明天的关心程度和100天对101天的关心程度是不一致的，也就是说时间的贴现是会变化的为什么我今生要吃苦？因为来世可以进入天堂这是大多数的信仰宗教的人的心态，舍弃今生来换取来生的幸福，实际上，这就是人们的跨期选择无论吸烟者还是吸毒者或者沉迷于网络游戏的人，其实都有戒的愿望，他们也能理性地认识到，如果上瘾，长期的成本要比获得的收益大得多，可是实际上，理性行为并不能准确描述个体在毒品和香烟消费上的决策，人们在做事时往往都会倾向于拖延传统贴现模型DU模型 跨期选择指的是在不同时间段上进行成本收益的权衡. 经济学界关于跨期选择及时间贴现的理论已经有了很大的发展，古典西方经济学里面被最广泛接受的是萨缪尔逊（Paul Samuelson，1937）在文章“A Noteon Measurement of Utility”中提出来的贴现效用模型（The Discounted Utility Model,本文简记为DU模型）。
萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型，下面我们来看DU模型具体形式是怎样的 设出决策者对于消费束 的跨期偏好，在效用的完备性、传递性及连续性的假定下，跨期效用函数可以表示为 进一步的，对于离散时间，萨缪尔逊假定跨期效用函数满足如下形式1： 在上述方程中， 代表决策者在t+k期的基数即时效用， 用来表示决策者的贴现函数，即对各时期的即时效用所加的权数 代表决策者的纯时间偏好率，即贴现率1更一般的，对于连续时期，跨期贴现效用函数可以表示为： 为简单起见，本文只考虑离散时期的跨期贴现效用函数下面我们来看DU模型的特点1、贴现率时间上恒定 我们知道，任何的贴现函数都可以一般都表示成这种形式： = 其中 代表在时期n上的贴现率，也就是说，贴现率将随着时期n的变化而发生变化但是，在DU模型中，我们可以看到，对于所有的n， = ，这意味着DU模型中包含着一个重要假定时间贴现率在每一期均相同时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏好是时间一致（Time-consistent）的,也就是说后期的偏好将可以“证实”（Confirm）前期的偏好更正规的，我们可以这样写成： 我们说跨期偏好是时间一致的，如果决策者面临两个消费束 和 ，且有 ，当且仅当 时，有 决策者需要做的就是估计出未来每一期的效用流，然后通过一个统一的折现率 折算成现值，静态的效用最大化问题就转化为动态的效用现值最大化问题。
2、正的时间偏好和递减的边际效用 在DU模型中，即时效用函数 是凹函数，也就是说，边际效用是递减的这意味着人们将更愿意把消费分散到各个时期，而不是集中于同一个时期 同时，在DU模型中，贴现率 是正的，这就说明了时间偏好是正的与边际效用递减相反，正的时间偏好促使人们更多的在当期消费3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的计划结合起来考虑 DU模型的一个中心假设就是人们在跨期决策时会将现有的计划与新的备择计划结合起来考虑比如说，一个人他现有的消费计划为 ，他面临一个跨期决策X,我们可以将此跨期决策同放弃现有的50000美元以获得5年后的10000美元的跨期决策类似的理解我们说决策者在跨期决策时会将新的备择计划与现有的计划结合起来考虑，也就是说，人们不会孤立的考虑跨期选择X，而会根据X对将来的各个时期的总消费的影响来作出决策所以，在评价跨期选择X时，决策者会考虑决策后新的消费路径 ，只有当 时，决策者才会接受跨期选择也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为，接受跨期决策X将会增加其拥有，变为 X，定义B(E)为决策者在拥有水平为E时的预算集，根据DU模型，决策者将会接受跨期选择X，如果满足：,4、各期效用独立 DU模型还假定一序列结果的总效用等于各期效用的求和。
也就是说，各期的效用都是相互独立的5、各期消费独立 DU模型的一个外在假定为决策者在t+k期的状况独立于他在其它期的消费状况 在跨期选择中，在一个时期决策者的效用不会受其前面或后面某期的状况的影响，比如说，决策者对意大利或者泰国旅馆的偏好不会受他昨晚是否在意大利旅馆居住或者他是否期待明天在意大利旅馆居住的影响 用萨缪尔逊的话来说，就是“昨天晚上我所喝的酒或者明天我将会喝的酒将不会对我今天关于酒和牛奶的偏好产生影响6、即时效用 不随时间变化 在DU模型中，经常假定即时基数效用不随时间而变化，也就是说，一个人在任何时期中由任何活动所产生的状况都是一样的很多的经济学家都对这一点提出过质疑，因为很容易看到人的偏好会随时间变化而变化在DU模型中作此假定纯粹只是为了方便而已DU模型的“反常”（DU Anomalies） 在过去的二十年中，跨期选择的经验性研究已经揭示出了DU模型的不足之处，首先，经验研究发现在不同时期中的贴现率并不是常数，而可能是递减的，这个理论经常被称作双曲线贴现理论（Hyperbolic Discounting），本文将在下面介绍 实际上，在DU模型发展之前，经济学家们就已经开始了对时间贴现和跨期选择的研究，而且，与DU模型不同的是，他们并没有简单的将贴现率规定为常数，他们承认行为学、心理学方面的因素对贴现率的影响。
西方经济学的鼻祖亚当斯密（Adam Smith）曾经指出，个人的跨期选择不仅会影响到个人的健康、财富、和总的幸福，还可能对国家经济的繁荣有决定影响 苏格兰经济学家约翰雷（John Rae）就已经将社会学和心理学方面的因素纳入跨期决策的领域进行分析指出斯密没有进一步指出这种分配的决定因素是什么，雷强调斯密没有考虑到的因素是“有效积累欲望(The Effective Desire of Accumulation)”，这就是一个心理学方面的词汇了 雷认为跨期决策行为是促进或限制“有效积累欲望”的因素的组合产生的，最重要的两个促进有效积累欲望的因素是“遗产动机”（Bequest Motive）和“自我节制倾向”（Propensity to Exercise Self-restraint），而限制有效积累欲望的因素主要有生命的不确定性（Uncertainty of Human Life），以及即时消费的兴奋效用、推迟此可得到的满意所引起的不快等等另外，DU模型的不足之处还表现在： 收益的折现率高于损失的折现率； 小额效用流的折现率高于大额效用流； 对延期的事件折现更多； 在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序列； 效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的选择相互影响等等。
双曲贴现（Hyperbolic Discounting） 术语“双曲贴现”通常被用来描述人们的时间偏好的递减率，即 会随着n的增大而减小，目前行为经济学界业已有很多的关于双曲贴现的实证研究萨勒（Richard Thaler，1981）发现，被实验者要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年后的收入，回答结果是20元、50元和100元，这就意味着一个月期界的年折现率是345，一年期界的是120，10年期界的是19,反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数形式更好的拟合数据 下面是Laibson等人提出的双曲贴现的函数形式 它假定当前期和接下来的一期的每时期贴现率为 ，而将来任何的两期之间的每时期贴现率为 ，于是，这个 方程假定了当前期和第二期的递减的贴现率，以及这时期之后的不变贴现率 双曲贴现率（Loewenstein 从当前期开始的第十二个月到第十三个月的时间区间是一个长期概念，在更远的时期内，时间贴现率更低 也就是说，在相当长的时期概念中，相邻的两个月对于决策者来说是无差别的，但是在短期概念中，决策者会比较注重这种差别.,下面对我们所做的实验做一个简略的意义上的描述：实验1：,实验对象被给定两种选择，一种是在9月26日得到￥1，000，这里的9月26日是一个时点概念，也就是所谓的定期。
另一种选择是在4个月之内得到￥1，000，这里所说的4个月以内是一个时期概念，也就是所谓的延期 实验结果表明，更多的人选择了第一种选择，即在相同的结果下（两种选择所得钱数均为￥1，000），更多的人愿意选择延期这是因为延期将使得决策者认为有一个更高的贴现率人们通常偏好于延期还有一个原因，就是因为定期的方式有一个计算成本，人们不愿意为定期的计算而费功夫，比如说，假使一个学生需要交一份作业，他会更希望听到老师要求在一个月之内交上来而不是在某一天交上来原因很显然，如果规定在某天必须交，学生还需要计算在这天之前必须完成，以及费功夫记住这一个期限，而如果只要求在一个月之内交，学生会感觉自己在这一个月中还有很大的自由选择的余地，他可以决策在这段期限中的任何时候完成作业实验2： 在这个实验中，受调查者被要求在小而快（SS）的结果与大而迟（LL）的结果中作出选择结果分别被描述成延期和定期的形式 假设实验进行的当天时2003年的5月 地点：新加坡国立大学,被调查者被以下面的形式来提问：,上面是一个在定期的描述形式下的问题形式，被调查者要求在方框中做出自己的选择实验中还有被分作月和星期的两种延期形式的问题。
下面是实验数据:在不同的描述上选择LL的人数所占百分比,注：同一行中拥有相同上标的数据的差异在Tukey HSD检验上不显著 从实验数据可以看出，当结果被描述成定期形式时，人们会比在延期形式下更倾向于选择大而迟的结果LL我们通过上述实验得出的结论在实际中的应用： -如果你希望人们得到更低的贴现，就应该将时期描述为定期方式 -当描述成定期方式时，投资变得更有吸引力 -如果你希望人们得到更高的贴现，就应该将时期描述为延期方式9、静夜四无邻，荒居旧业贫21.6.521.6.5Saturday, June 5, 2021 10、雨中黄叶树，灯下白头人18:00:4618:00:4618:006/5/2021 6:00:46 PM 11、以我独沈久，愧君相见频21.6.518:00:4618:00Jun-215-Jun-21 12、故人江海别，几度隔山川18:00:4618:00:4618:00Saturday, June 5, 2021 13、乍见翻疑梦，相悲各问年21.6.521.6.518:00:4618:00:46June 5, 2021 14、他乡生白发，旧国见青山2021年6月5日星期六下午6时0分46秒18:00:4621.6.5 15、比不了得就不比，得不到的就不要。
2021年6月下午6时0分21.6.518:00June 5, 2021 16、行动出成果，工作出财富2021年6月5日星期六6时0分46秒18:00:465 June 2021 17、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前下午6时0分46秒下午6时0分18:00:4621.6.5 9、没有失败，只有暂时停止成功！21.6.521.6.5Saturday, June 5, 2021 10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有18:00:4618:00:4618:006/5/2021 6:00:46 PM 11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累21.6.518:00:4618:00Jun-215-Jun-21 12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美18:00:4618:00:4618:00Saturday, June 5, 2021 13、不知香积寺，数里入云峰21.6.521.6.518:00:4618:00:46June 5, 2021 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏2021年6月5日星期六下午6时0分46秒18。