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1、1 / 22 2022 年高考数学复习之专题突破训练专题七：不等式年高考数学复习之专题突破训练专题七：不等式 考点卡片考点卡片 1二次函数的性质与图象二次函数的性质与图象 【二次函数】 二次函数相对于一次函数而言， 顾名思义就知道它的次数为二次， 且仅有一个自变量， 因变量随着自变量的变化而变化它的一般表达式为：yax2+bx+c（a0） 【二次函数的性质】 二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或 是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判 定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移 这里面略谈一下他的一些性
2、质 开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数，当 a0（0）时，图象开口向上（向下） ；对称 轴 x；最值为：f（） ；判别式b24ac，当0 时，函数与 x 轴只有一个 交点；0 时，与 x 轴有两个交点；当0 时无交点 根与系数的关系若0，且 x1、x2为方程 yax2+bx+c 的两根，则有 x1+x2，x1 x2； 二次函数其实也就是抛物线，所以 x22py 的焦点为（0，） ，准线方程为 y，含 义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离 平移：当 ya（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成 ya（x1+b）2+c； 【命题方向】 熟悉二次函数的性质， 会画出抛物线的准确形状
3、， 特别是注意抛物线焦点和准线的关 系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点 2指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 【知识点的认识】 1、指数函数 yax（a0，且 a1）的图象和性质： yax a1 0a1 2 / 22 图象 定义域 R 值域 （0，+） 性质 过定点（0，1） 当 x0 时，y1； x0 时，0y1 当 x0 时，0y1； x0 时，y1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 2、底数对指数函数的影响： 在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当 al 时，底数越大，函数图象在第一象 限越靠近 y 轴；同样地，当 0al 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近 x
4、轴 底数对函数值的影响如图 当 a0，且 al 时，函数 yax 与函数 y的图象关于 y 轴对称 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值 3函数的零点函数的零点 【函数的零点】 一般地，对于函数 yf（x） （xR） ，我们把方程 f（x）0 的实数根 x 叫作函数 yf （x） （xD）的零点即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值函数的零点不是一个 点，而是一个实数 【解法二分法】 确定区间a，b，验证 f（a）*f（b）0，给定精确度； 求区间
5、（a，b）的中点 x1； 3 / 22 计算 f（x1） ； 若 f（x1）0，则 x1就是函数的零点； 若 f（a）f（x1）0，则令 bx1（此时零 点 x0（a，x1） ） ；若 f（x1）f（b）0，则令 ax1 （此时零点 x0（x1，b） 判 断是否满足条件，否则重复（2）（4） 【总结】 零点其实并没有多高深， 简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与 x 轴的交 点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足 f（a） f（b）0，则（a，b）至少有一 个零点这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了 4分段函数的应用分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的
6、是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样， 有些甚至不 是连续的 这个在现实当中是很常见的， 比如说水的阶梯价， 购物的时候买的商品的量不同， 商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数 【具体应用】 正如前面多言， 分段函数与我们的实际联系比较紧密， 那么在高考题中也时常会以应用 题的形式出现下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税某外资厂该年 A 型产品出厂价 为每件 60 元，年销售量为 11.8 万件第二年，当地政府开始对该商品征收税率为 p%（0 p100，即销售 100 元要征收 p 元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件
7、元， 预计年销售量将减少 p 万件 （）将第二年政府对该商品征收的税收 y（万元）表示成 p 的函数，并指出这个函数的定 义域； （）要使第二年该厂的税收不少于 16 万元，则税率 p%的范围是多少？ （）在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则 p 应 为多少？ 解： （）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8p）万件， 年销售收入为（11.8p）万元， 政府对该商品征收的税收 y（11.8p）p%（万元） 4 / 22 故所求函数为 y（11.8p）p 由 11.8p0 及 p0 得定义域为 0p11.8（4 分） （II）由 y16 得（11.8p）p
8、16 化简得 p212p+200，即（p2） （p10）0，解得 2p10 故当税率在0.02，0.1内时，税收不少于 16 万元 （9 分） （III）第二年，当税收不少于 16 万元时， 厂家的销售收入为 g（p）（11.8p） （2p10） 在2，10是减函数 g（p）maxg（2）800（万元） 故当税率为 2%时，厂家销售金额最大 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能 力，这个与分不分段其实无关我们重点看看分段函数要注意的地方第一，要明确函数的 定义域和其相对的函数表达式； 第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数 某段内部的值；第
9、三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论 【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答 5不等关系与不等式不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系， 如 2 和 3 不相等， 是相对于相等关系来说的， 比如与 就是相等关系而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着 它是个式子，比方说 ab，ab0 就是不等式 【不等式定理】 对任意的 a，b，有 abab0；abab0；abab0，这三条性质是做 差比较法的依据 如果 ab，那么 ba；如果 ab，那么 ba 如果 ab，且 bc，那么 ac；如果 a
10、b，那么 a+cb+c 推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d 如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 c0，那么 acbc 5 / 22 【例题讲解】 例 1：解不等式：sinx 解：sinx， 2k+x2k+（kZ） ， 不等式 sinx的解集为x|2k+x2k+，kZ 这个题很典型， 考查了不等式和三角函数的相关知识， 也体现了一般不等式喜欢与函数联 结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期 就是最后的解 例 2：当 ab0 时，ab 证明：由 ab0，知0 又ab，ab，即； 若，则 ab 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判
11、断型的题，如果要判断它是错的，直接 举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广 6不等式比较大小不等式比较大小 【知识点的知识】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式） ； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法 6 / 22 【典型例题分析】 方法一：作差法 典例 1：若 a0，b0，则 p与 qa+b 的大小关系为（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 解 ： p q a b
12、 （ b2 a2） ， a0，b0，a+b0，ab0， 若 ab，则 pq0，此时 pq， 若 ab，则 pq0，此时 pq， 综上 pq， 故选：B 方法二：利用函数的单调性 典例 2：三个数，的大小顺序是（ ） A B C D 解：由指数函数的单调性可知， 由幂函数的单调性可知， 则， 故， 故选：B 7一元二次不等式及其应用一元二次不等式及其应用 7 / 22 【概念】 含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式 它的一般形式 是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a 不等于 0）其中 ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式 【特征】 当b24ac0
13、时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（xx1） （xx2） 当b24ac0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 仅有一个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（xx1）2 当b24ac0 时 一元二次方程 ax2+bx+c0 没有实根，那么 ax2+bx+c 与 x 轴没有交点 【实例解析】 例 1：一元二次不等式 x2x+6 的解集为 解：原不等式可变形为（x3） （x+2）0 所以，2x3 故答案为： （2，3） 这个题的特点是首先它把题干变了形， 在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c0 的形式； 然后应用了特征当中的第一条，
14、把它写成两个一元一次函数的乘积， 所用的方法是十字相乘 法；最后结合其图象便可求解 【一元二次不等式的常见应用类型】 一元二次不等式恒成立问题： 一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集是 R 的等价条件是：a0 且0；一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集是 R 的等价条件是：a0 且0 分式不等式问题： 0f（x） g（x）0； 0f（x） g（x）0； 8 / 22 0； 0 8简单线性规划简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一 种重要的数学模型 简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划， 其最优解可 以用数形
15、结合方法求出我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行 域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值 【例题解析】 例：若目标函数 zx+y 中变量 x，y 满足约束条件 （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解 解： （1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3） ，A（2，3） ，C（4，2） ， 则可行域的面积 S （2）由 zx+y，得 yx+z，则平移直线 yx+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 yx+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z2+35， 当直线经过点 B（4，3）时，直线
16、yx+z 得截距最大， 9 / 22 此时 z 最大为 z4+37， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3） ， （2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型， 解这种题一律先画图， 把每条直线在同一 个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找 到它的最值 【典型例题分析】 题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线 ykx+分为面积相等的两部分，则 k 的值是 （ ） A B C D 分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，） ，结 合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可 解答：不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线 ykx+过定点（0，） 因此只有直线过 AB 中点时，直线 ykx+能平分平面 区域 因为 A（1，1） ，B（0，4） ，所以 AB 中点 D（，） 当 ykx+过点（，）时，+，所以 k 答案：A 点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线
