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1、1 / 30 2022 年高考数学复习之专题突破训练专题九：平面解析几何年高考数学复习之专题突破训练专题九：平面解析几何 考点卡片考点卡片 1平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则： （1）| |cos； （2）0； （判定两向量垂直的充要条件） （3）当 ， 方向相同时，| | |；当 ， 方向相反时，| | |； 特别地：| |2或| |（用于计算向量的模） （4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）| | | 2、平面向量数量积
2、的运算律 （1）交换律：； （2）数乘向量的结合律： （ ） （） （） ； （3）分配律： （） （） 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为（ ） 222 +2（ ） （ + ）2 2 （ ）（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相 同的，有些不一样 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： 2 / 30 “mnnm”类比得到“” “ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ； “t0，mtntmn”类比得到“” ； “|mn|m|n|”类比得到“| | |” ； “ （mn）tm（nt） ”类比得到“ （） ” ； “
3、”类比得到以上的式子中，类比得到的结论正确的是 解：向量的数量积满足交换律， “mnnm”类比得到“” ， 即正确； 向量的数量积满足分配律， “ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ， 即正确； 向量的数量积不满足消元律， “t0，mtntmn”不能类比得到“” ， 即错误； | | |， “|mn|m|n|”不能类比得到“| | |” ； 即错误； 向量的数量积不满足结合律， “ （mn）tm（nt） ”不能类比得到“ （） ” ， 即错误； 向量的数量积不满足消元律， ”不能类比得到， 即错误 3 / 30 故答案为： 向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“” ；向量
4、的数量积满足分配 律，故“ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ；向量的数量积不满足消 元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“” ；| | | |，故“|mn|m|n|”不能类比得到“| | |” ；向量的数量积不满足结合律，故 “ （mn）tm（nt） ”不能类比得到“ （） ” ；向量的数量积不满足消元 律，故”不能类比得到 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题 目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握 2直线的倾斜角直线的倾斜角 【知识点的认识】 1定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，
5、x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 叫做直线 l 的倾斜角 2范围：0，） （特别地：当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定直线 l 的倾斜角为 0） 3意义：体现了直线对 x 轴正方向的倾斜程度 4斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：每条直线都有倾斜角，范围是0，） ，但并不是每条直线都有斜率 倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向 （2）联系：当 a时，ktan；当 时，斜率不存在； 根据正切函数 ktan 的单调性：当 0，）时，k0 且 tan 随 的增大而增大， 4 / 30 当 （，）时，k0 且 tan 随 的增大而增大 【命题方向】
6、 直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一， 是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示， 也是用坐标法研究直线性质的基础 在高考中 多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题 （1）直接根据直线斜率求倾斜角 例：直线x+y10 的倾斜角是（ ） A.30 B.60 C.120 D.150 分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可 解答：因为直线x+y10 的斜率为：， 直线的倾斜角为： 所以 tan， 120 故选 C 点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用 （2）通过条件转换求直线倾斜角 例：若直线经过 A（0，1） ，B（3，4）两点，则直
7、线 AB 的倾斜角为（ ） A30 B.45 C60 D120 分析：由直线经过 A（0，1） ，B（3，4）两点，能求出直线 AB 的斜率，从而能求出直线 AB 的倾斜角 解答：直线经过 A（0，1） ，B（3，4）两点， 直线 AB 的斜率 k1， 直线 AB 的倾斜角 45 故选 B 点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理 地进行等价转化 3直线的斜率直线的斜率 【考点归纳】 5 / 30 1定义：当直线倾斜角 时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率用小写字母 k 表示，即 ktan 2斜率的求法 （1）定义：ktan（） （2）斜率公式：k 3斜
8、率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：每条直线都有倾斜角，范围是0，） ，但并不是每条直线都有斜率 倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向 （2）联系： 当 时，ktan；当 时，斜率不存在； 根据正切函数 ktan 的单调性：当 0，）时，k0 且随 的增大而增大，当 （，）时，k0 且随 的增大而增大 【命题方向】 直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一， 是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示， 也是用坐标法研究直线性质的基础 在高考中 多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题 常见题型： （1）已知倾斜角范围求斜率的
9、范围； （2）已知斜率求倾斜角的问题 （3）斜率在数形结合中的应用 4直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【知识点的知识】 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在 y 轴上的截距大于 0 时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于 0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就 越大，直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度也就越大； 6 / 30 若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就 越大，直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在 y 轴上的截距小于 0 时： 若倾斜角为锐角，则斜率大
10、于 0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就 越大，直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就 越大，直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与 x 轴垂直； （4）当直线的倾斜角为 0 度时，斜率为 0，直线的图线与 x 轴平行或重合 7 / 30 5两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： 如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为 k1，k2，倾斜
11、角分别为 1，2， 则有： 两直线平行倾斜角 12斜率 k1k2 如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为 90，这两条直线平行 6两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【直线的关系】 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的 是相交直线的一个特例，直线垂直顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为 90 【特点】 当某条直线斜率不存在时，那么与它垂直的直线平行 x 轴； 当某条直线斜率存在时，设它的斜率为 k（k0） ，那么与它垂直的直线的斜率为：， 即两条互相垂直的斜率之积为1，符号表示为 k1k21 【例题解析】 例：
12、设 A、B 为 x 轴上两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|PB|，若直线 PA 的方程为 x 2y+10，则直线 PB 的方程是 解：根据|PA|PB|得到点 P 一定在线段 AB 的垂直平分线上， 根据 x2y+10 求出点 A 的坐标为（1，0） ，由 P 的横坐标是 2 代入 x2y+10 求得纵 坐标为，则 P（2，） ，P 在 x 轴上的投影为 Q（2，0） ，又因为 Q 为 A 与 B 的中点，所 以得到 B（5，0） ，所以直线 PB 的方程为：y0（x5）化简后为 x+2y50 故答案为：x+2y50 这个题是以前的一个高考题，非常好解题时首先要分析出两条直线之间的夹角，
13、最好 8 / 30 的方法就是画图， 根据等腰三角形底边相等的性质， 然后根据斜率为 1 表示的倾斜角为 45 这个特点，求出这两条直线的夹角；然后根据两条垂线的特点求出该直线的斜率；最后因为 求出 P 点的坐标，带进去即可 【知识点的认识】 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； 当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为 k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜 率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直 l1l2k2k1k21 7直线的点斜式方程直线的点斜式方程 【知识点的认识】 设 P（x，y）是直线
14、 l 上不同于 P0的任意一点 方程 yy0k（xx0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程 8直线的截距式方程直线的截距式方程 【知识点的认识】 直线的截距式方程： 若直线 l 与 x 轴交点为（a，0） ，与 y 轴交点为（0，b） ，其中 a0，b0，a 为直线 l 在 x 轴上的截距，b 为直线 l 在 y 轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距 方程为： #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线 9直线的一般式方程与直线的平行关系直线的一般式方程与直线的平行关系 9 / 30 【知识点的知识】 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线 l
15、1、l2，其斜率分别为 k1、k2，有： （1）l1l2k1k2； （2）l1l2k1k21 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C0，注意 A、B 不同时为 0直线一般式方程 Ax+By+C0（B0） 化为斜截式方程 yx，表示斜率为，y 轴上截距为的直线 （2）与直线 l：Ax+By+C0 平行的直线，可设所求方程为 Ax+By+C10；与直线 Ax+By+C 0 垂直的直线，可设所求方程为 BxAy+C10 （3） 已知直线 l1， l2的方程分别是： l1： A1x+B1y+C10 （A1， B1不同时为 0） ， l2： A2x+B2y+C2 0（A2，B2不同时为 0
16、） ，则两条直线的位置关系可以如下判别： l1l2A1A2+B1B20； l1l2A1B2A2B10，A1C2A2B10； l1与 l2重合A1B2A2B10，A1C2A2B10； l1与 l2相交A1B2A2B10 如果 A2B2C20 时，则 l1l2；l1与 l2重合；l1与 l2相交 10点到直线的距离公式点到直线的距离公式 【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 而这条垂线段的距离是任 何点到直线中最短的距离设直线方程为 Ax+By+C0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那 么这点到这直线的距离就为：d 【例题解析】 例：过点 P（1，1）引直线使 A（2，3） ，B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程 解：当直线平行于直线 AB 时，或过 AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线 AB 时，所求直线的斜率为 k1， 10 / 30 故直线方程为 y1（x1） ，即 xy0； 当直线过 AB 的中点（3，4）时，斜率为 k， 故直线方程为 y1（x1） ，即 3x2y10； 故答案为：xy0 或 3x2y10 这个题考查了点到直线的概念
