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1、1 / 13 2022 年高考数学复习之专题突破训练专题五：平面向量年高考数学复习之专题突破训练专题五：平面向量 考点卡片考点卡片 1向量的概念与向量的模向量的概念与向量的模 【向量概念】 既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力） ，只有大小没有方 向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄） 在数学中我们把向量的大小叫做向 量的模，这是一个标量 【向量的几何表示】 用有向线段表示向量， 有向线段的长度表示有向向量的大小， 用箭头所指的方向表示向量的 方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，字母表示，用小写字 母 、 ，表示有向向量的长度为模，表示为|、
2、| |，单位向量表示长度为一个单位 的向量；长度为 0 的向量为零向量 【向量的模】 的大小，也就是的长度（或称模） ，记作| 【零向量】 长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的长度为 0，方向不确定 【单位向量】 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是） 【相等向量】 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性 2平行向量（共线）平行向量（共线） 【知识点的知识】 1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量如果 ， ， 是非零向量且方向相同或相反（向量所在 的直线平行或重合） ，则可即位 ，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此 平行向量又叫共线向量，任
3、一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平 2 / 13 行 2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后， 这些有向线段在同一条直线上， 这样的 一组向量称为共线向量零向量与任一向量共线 说明： （1）向量有两个要素：大小和方向 （2）向量 与向量 共线的充要条件是：向量 a 与向量 b 的方向相同或相反，或者有一个是 零向量 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量 【定理】 假设向量 （1，2） ，向量 （2，4） ，则 2 ，那么向量 与向量 平行，且有 14220，即当向量 （x1，y1）与向量 （x2，y2）平行时，有 x1y2x2y10， 这
4、也是两向量平行的充要条件 【例题解析】 例：设 与 是两个不共线的向量，且向量与共线，则 0.5 解；向量与共线，存在常数 k，使得k（） 2k1k 解得，0.5 故答案为0.5 根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含 的等式，解出 即可 3向量的加法向量的加法 【知识点的知识】 向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设 与 不共线，在平面上任取一点 A（如图 1） ，依次作a，b， 3 / 13 则向量 叫做 与 的和，记作，即 + + 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点 （2）平行四边形法
5、则：如图 2 所示，ABCD 为平行四边形，由于，根据三角形法则 得+，这说明，在平行四边形 ABCD 中，所表示的向量就是与的 和 特征： 有共同起点的两个向量相加， 其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角 线 （首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 + + ； +（ ） ； + + ； （ + ）+ +（ + ） 4向量的三角形法则向量的三角形法则 【知识点的知识】 三角形法则：设 与 不共线，在平面上任取一点 A（如图 1） ，依次作a，b，则 向量 叫做 与 的和，记作，即 + + 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点 4 /
6、13 5向量加减混向量加减混合运算合运算 【知识点的知识】 1、向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设 与 不共线，在平面上任取一点 A（如图 1） ，依次作a，b， 则向量 叫做 与 的和，记作，即 + + 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点 （2）平行四边形法则：如图 2 所示，ABCD 为平行四边形，由于，根据三角形法则 得+，这说明，在平行四边形 ABCD 中，所表示的向量就是与的 和 特征： 有共同起点的两个向量相加， 其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角 线 （首尾相接，结果为
7、首尾） （3）向量的加法性质 + + ； +（ ） ； + + ； （ + ）+ +（ + ） 2、向量的减法运算 求两个向量差的运算叫向量的减法运算 法则：以将向量 a 与向量 b 的负向量的和定义为 与 的差，即 +（ ） 5 / 13 设 ， ，则即即 特征；有共同起点的两个向量 、 ，其差仍然是一个向量，叫做 与 的差向量，其起 点是减向量 的终点，终点是被减向量 的终点 （减终指向被减终） 6两向量的和或差的模的最值两向量的和或差的模的最值 【知识点的知识】 向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减就像速度是可以加减的一样，向量 相加减之后还是向量当两个向量相加时，有| + |
8、|+| |，当且仅当 与 方向相同时取 得到等号；也有| + | | |，当且仅当 与 方向相反时取得到等号 另外还有| | |+| |，当且仅当 与 方向相反时取得到等号 ；| | | |， 当且仅当 与 方向相同时取得到等号 【例题解析】 例：定义 * | | |sin， 是向量 和 的夹角，| |，| |是两向量的模，若点 A（3，2） ， B（2，3） ，O 为坐标原点，则*（ ） 解：A（3，2） ，B（2，3） ， 32+230， sin1 *13 点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口其实这个题求的就 是他们的最大值，只是多了一个确认的步奏 【考点点评】
9、向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点， 大家要引起重视， 特别是新大纲还增 加了向量的知识点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点 7向量数乘和线性运算向量数乘和线性运算 6 / 13 【知识点的知识】 （1）实数与向量 的积是一个向量，记作 ，它的大小为| | |，其方向与 的正负 有关若| |0，当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时， 的方向与 的方向 相反 当 0 时， 与 平行 对于非零向量 a、b，当 0 时，有 （2）向量数乘运算的法则 1 ； （1） ； （） （） （ ） ； （+） + ； （ + ） + 一般地， + 叫做 ， 的一个线性
10、组合（其中，、 均为系数） 如果 + ，则 称 可以用 ， 线性表示 8平面向量的基本定理平面向量的基本定理 【知识点的知识】 1、平面向量基本定理内容： 如果 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 ，有且仅有一对 实数 1、2，使 2、基底：不共线的 e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行 （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一 9平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 【知识点的知识】 7 / 13 平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为 （x，y） ，
11、 意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为 d若 （m，n） ， 则 + （x+m，y+n） ，则 （xm，yn） ； （xm，ny） ， （x，y） 【典型例题分析】 例： 已知平面向量满足：， 且， 则向量 的坐标为 （4， 2）或（4，2） 解：根据题意，设 （x，y） ， 若，有0，则x+2y0， 若，x2+y220， 联立，可得， 解可得或， 则 （4，2）或（4，2） ； 故答案为（4，2）或（4，2） 这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设 （x，y） ，根据题意，由， 可得x+2y0，由，可得 x2+y220，联立两式，解可得 x、y 的 值，即可得 的坐
12、标这也是常用的一种方法 【考点点评】 这是一个很重要的考点， 也是一个比较容易的考点， 大家在学习的时候关键是掌握公式 的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数 10平面向量共平面向量共线（平行）的坐标表示线（平行）的坐标表示 【知识点的知识】 平面向量共线（平行）的坐标表示： 8 / 13 设 （x1，y1） ， （x2，y2） ，则 （ ）x1y2x2y10 11平面向量数量积的含义与物理意义平面向量数量积的含义与物理意义 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量 ， 如果以 O 为起点，作 ， ，那么射线 OA，OB 的夹 角 叫做向量 与向量 的夹角
13、，其中 0 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量 ， 的夹角为 ，那么我们把| | |cos 叫做 与 的数量积， 记做 即：| | |cos规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即： 0 注意： 表示数量而不表示向量，符号由 cos 决定； 符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替； 在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0 （2）投影： 在 上的投影是一个数量| |cos，它可以为正，可以为负，也可以为 0 （3）坐标计算公式：若 （x1，y1） ， （x2，y2） ，则x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平
14、面向量数量积的几何意义： 与 的数量积等于 的长度| |与 在 的方向上的投 影| |cos 的积 12平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则： 9 / 13 （1）| |cos； （2）0； （判定两向量垂直的充要条件） （3）当 ， 方向相同时，| | |；当 ， 方向相反时，| | |； 特别地：| |2或| |（用于计算向量的模） （4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）| | | 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律：
15、； （2）数乘向量的结合律： （ ） （） （） ； （3）分配律： （） （） 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为（ ） 222 +2（ ） （ + ）2 2 （ ）（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相 同的，有些不一样 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“” “ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ； “t0，mtntmn”类比得到“” ； “|mn|m|n|”类比得到“| | |” ； “ （mn）tm（nt） ”类比得到“ （） ” ； 10 / 13 “”类比得到以上的式子中
16、，类比得到的结论正确的是 解：向量的数量积满足交换律， “mnnm”类比得到“” ， 即正确； 向量的数量积满足分配律， “ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ， 即正确； 向量的数量积不满足消元律， “t0，mtntmn”不能类比得到“” ， 即错误； | | |， “|mn|m|n|”不能类比得到“| | |” ； 即错误； 向量的数量积不满足结合律， “ （mn）tm（nt） ”不能类比得到“ （） ” ， 即错误； 向量的数量积不满足消元律， ”不能类比得到， 即错误 故答案为： 向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“” ；向量的数量积满足分配 律，故“ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ；向量的数量积不满足消 元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“” ；| | | |，故“|mn|m|n|”不能类比得到“| | |” ；向量的数量积不满足结合律，故 11 / 13 “ （mn）tm（nt） ”不能类比得到“ （） ” ；向量的数量积不满足消元 律，故”不能类比得到 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较
