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1、1 / 29 2022 年高考数学复习之专题突破训练专题十二：推理与证明年高考数学复习之专题突破训练专题十二：推理与证明 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 不等式选讲不等式选讲 考点卡片考点卡片 1函数的图象与图象的变换函数的图象与图象的变换 【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下 3 个步骤 （1）列表； （2）描点； （3） 连线 解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法 则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线） 命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象， 有时结合函数的奇偶性、对称性
2、、单调性知识结合命题 【图象的变换】 1利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、 周期性、对称性等） 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等） ，描点， 连线 2利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： yf（x）a0，右移 a 个单位（a0，左移|a|个单位）yf（xa） ； yf（x）b0，上移 b 个单位（b0，下移|b|个单位）yf（x）+b （2）伸缩变换： yf（x） yf（x） ； yf（x）A1，伸为原来的 A 倍（0A1，缩为原来的 A 倍）yAf（x） （
3、3）对称变换： yf（x）关于 x 轴对称yf（x） ； yf（x）关于 y 轴对称yf（x） ； 2 / 29 yf（x）关于原点对称yf（x） （4）翻折变换： yf（x）去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图，将 y 轴右边的图象翻折到左边yf（|x|） ； yf（x）留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y|f（x）| 解题方法点拨 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的 曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出 （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利 用图象变换作出，
4、但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移 变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到 比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： 从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； 从图象的变化趋势，观察函数的单调性； 从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； 从图象的循环往复，观察函数的周期性 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项 （2）知式选图： 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象
5、的上下位置； 从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性 从函数的周期性，判断图象的循环往复 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口 3、 （1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性； 3 / 29 从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数； 利用此法也可由解的个数求 参数值 4、方法归纳： （1）1 个易错点图象变
6、换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原则，写出 每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错 （2）3 个关键点正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： 正确求出函数的定义域； 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函 数、形如 yx+的函数； 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助 我们简化作图过程 （3）3 种方法识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来 获取图中所提供的信息，解决
7、这类问题的常用方法有： 定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋 势，利用这一特征来分析解决问题； 定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； 函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分 析解决问题 2不等式恒成立的问题不等式恒成立的问题 v 3不等关系与不等式不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系， 如 2 和 3 不相等， 是相对于相等关系来说的， 比如与 就是相等关系而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着 4 / 29 它是个式子，比方说 ab，ab0 就是不
8、等式 【不等式定理】 对任意的 a，b，有 abab0；abab0；abab0，这三条性质是做 差比较法的依据 如果 ab，那么 ba；如果 ab，那么 ba 如果 ab，且 bc，那么 ac；如果 ab，那么 a+cb+c 推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d 如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 c0，那么 acbc 【例题讲解】 例 1：解不等式：sinx 解：sinx， 2k+x2k+（kZ） ， 不等式 sinx的解集为x|2k+x2k+，kZ 这个题很典型， 考查了不等式和三角函数的相关知识， 也体现了一般不等式喜欢与函数联 结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义
9、域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期 就是最后的解 例 2：当 ab0 时，ab 证明：由 ab0，知0 又ab，ab，即； 若，则 ab 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接 举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广 4数列的数列的求和求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比 数列等等，常用的方法包括： 5 / 29 （1）公式法： 等差数列前 n 项和公式：Snna1+n（n1）d 或 Sn 等比数列前 n 项和公式： 几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列anbn
10、的前 n 项和，其中anbn分别是等差数列和等比数列 （3）裂项相消法： 适用于求数列的前 n 项和，其中an为各项不为 0 的等差数列，即 （） （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再 把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an） （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 6 / 29 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前 n 项和为 Sn （）求 an及 Sn； （）
11、令 bn（nN*） ，求数列bn的前 n 项和 Tn 分 析 ： 形 如的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： 解： （）设等差数列an的公差为 d， a37，a5+a726， ，解得 a13，d2， an3+2（n1）2n+1； Snn2+2n （）由（）知 an2n+1， bn， Tn， 即数列bn的前 n 项和 Tn 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像 友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点， 大家要学会上面所列的几种最基本的方法， 即便是放缩也要 往这里面考
12、5数列递推式数列递推式 【知识点的知识】 7 / 29 1、递推公式定义：如果已知数列an的第 1 项（或前几项） ，且任一项 an与它的前一项 an 1（或前几项） 间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 2、数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：an 在数列an中，前 n 项和 Sn与通项公式 an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握 注意： （1） 用 anSnSn1求数列的通项公式时， 你注意到此等式成立的条件了吗？ （n2， 当 n1 时，a1S1） ；若 a1适合由 an的表达式，则 an不必表达成分段形式，可化统一为一 个式子 （2）一般地当
13、已知条件中含有 an与 Sn的混合关系时，常需运用关系式 anSnSn1，先将 已知条件转化为只含 an或 Sn的关系式，然后再求解 3、数列的通项的求法： （1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式 （2）已知 Sn（即 a1+a2+anf（n） ）求 an，用作差法：an一 般地当已知条件中含有 an与 Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解 （3）已知 a1a2anf（n）求 an，用作商法：an， （4）若 an+1anf（n）求 an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2 a1）+a1（n2） （5）已知f（n）求
14、an，用累乘法：an（n2） （6）已知递推关系求 an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列） 特别地有， 形如 ankan1+b、ankan1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为 公比为 k 的等比数列后，再求 an 形如 an的递推数列都可以用倒数法求通项 （7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明 6归纳推理归纳推理 【知识点的认识】 8 / 29 1归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 推理形式：设 SA1，A2，A3，An， 2特点： （1
15、）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围； （2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验， 不能作为数学证明的工具； （3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究 的起点，帮助人们发现问题和提出问题 3作用： （1）获取新知，发现真理； （2）说明和论证问题 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查
16、对归纳推理的理解，会运用归纳 推理得出一般性结论 （1）考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同 例 1：下列表述正确的是（ ） 归纳推理是由部分到整体的推理； 归纳推理是由一般到一般的推理； 9 / 29 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理 ABCD 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐 一判断即可得到答案 解答：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理 故是正确的 故选 D 点评： 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义， 即是否是由 特殊到一般的推理过程 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的 定义， 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程 判断一个推理过程是否是演绎 推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程 例 2：下列推理是归纳推理的是（ ） AA，B 为定点，动点 P 满足|PA|PB|2a|AB|（
