《2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习1.5 简单几何体（沪教版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习1.5 简单几何体（沪教版）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.5 简单几何体【知识梳理】一、多面体的概念和直观图1、 多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。2、 棱柱（1） 定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些围成的多面体叫棱柱。（2） 基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（3） 侧面积和体积公式：（为垂直于侧棱的直截面的周长，为侧棱长），（为底面面积，为高）注：（1）四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.（2）棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱
2、都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.（3）平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，而四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.有
3、两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）3、 棱锥（1） 定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。（2） 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶
4、点到截面与顶点到底面的距离平方之比。注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）4、 正棱锥（1） 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥；（2） 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。面积与体积：，。注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） （2） 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等 （3） 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（
5、即侧棱相等）；底面为正多边形. （4）特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到
6、各面的距离等于半径.5、 斜二侧画图法特点（1） 建立空间坐标系（右手法则）；（2） 把平行于、轴的线段分别画成平行于这些轴；画线段时将与、轴平行的线段取原长，与轴平行的线段取原长的一半，并画空间图形的直观图。6、 斜二侧画图法性质（1） 平行直线的斜二侧图仍是平行直线；（2） 线段及其线段上定比分点的斜二侧图保持原比例不变。二、多面体的表面积与体积7、 多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。8、 棱柱（4） 定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，
7、相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。（5） 基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（6） 棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。直棱柱侧面都是矩形；直棱柱侧棱与高相等；正棱柱的侧面都是全等的矩形。底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；底面是矩形的直棱柱是长方体。（7） 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。（8） 侧面积和
8、体积公式：（为垂直于侧棱的直截面的周长，为侧棱长），（为底面面积，为高）9、 棱锥（3） 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。（4） 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。10、 正棱锥（3） 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影
9、是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥；（4） 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。面积与体积：，。三、旋转体1、旋转体的概念（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；（2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴；线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线；圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高【
10、性质】根据圆柱的形成过程易知： 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； 圆柱有两个相互平行的底面.（3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点；直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高【性质】根据圆锥的形成过程易知： 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点； 每条母线与轴的夹角都相等.（4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原
11、半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径【补充】 球心到球面上任意点的距离都相等； 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.2、侧面积、表面积和体积圆柱，圆锥的侧面积： ，其中，分别为圆柱的底面半径、周长，为母线长； ，其中，分别为圆锥的底面半径、周长，为母线长. 圆柱、圆锥的体积 ，其中为底面积，为高，为底面半径； ，其中为底面积，为高，为底面半径。四、球1、球的定义：半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球。半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球大家要注意球面和球是不同的
12、两个概念点到球面上任意点的距离都相等，把点称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半径和球的直径。球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆 2、球的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r=圆的主要性质球的主要性质1平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹）空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面2同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍3与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2圆心到弦距离2弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2球心到
13、截面圆距离2截面圆的半径24不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆5过切点的圆半径垂直于圆的切线过切点的球半径垂直于球的切面6圆周长2圆半径大圆周长2球半径3、球的表面积、体积公式：表面积：；球的体积公式：球的体积公式高中数学教材对球的体积公式(为球的半径)作了要求，但只是简单地说“利用祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式，未作具体推导. 鉴于部分学有余力的学生想了解其推导过程，现提供几种用高中数学知识就可推导的方法.方法一:利用祖暅原理为方便起见，现只计算半
14、球的体积.正如教材中所说的方法，利用祖暅原理关键是要构造一个和半球等高且横截面面积处处相等的几何体.如图1，在一个底面半径为、高为的圆柱中挖去一个底面半径为、高为的圆锥，则距离下底面的横截面为一圆环，面积为.又半球距离下底面的横截面为一个圆，由勾股定理，半径为，面积也为.因此，所构造几何体的体积与半球的体积相等，为圆柱的体积减去圆锥的体积，即，所以球的体积为.方法二：把球分割成无穷多个小圆柱高中生已经学过极限的知识，可以尝试这个方法.同样，只计算半球的体积. 如图2，把半球的高等分，作个半球的横截面，再以这些横截面为底面，作个高为的圆柱.这些圆柱的底面积分别为，所以这些圆柱的体积之和是 当时，
15、圆柱体积之和就无限趋近于半球的体积，即，所以球的体积为.方法三、把球分割成无穷多个小圆锥把球面近似分成个部分，当时，每个部分可看做一个圆.以这些圆为底面，以球心为顶点做圆锥，则所有圆锥体积的和即为球的体积.如图3.设每个圆的面积为，则所有圆锥体积的和为 又球的表面积为，所以球的体积为.这种推导方法比较简单易懂，但需要用到球的表面积公式，而他无法用高中数学知识推导，顾此方法的说服力不如前两种方法.4、经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径
