《中考一轮复习学案二次函数中的线段长问题（例题、巩固练习与答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考一轮复习学案二次函数中的线段长问题（例题、巩固练习与答案）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数中的线段长问题例1、已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B两点，与y与轴交于点C(0，2)(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求线段EF的最大值 本题第二问求线段EF的长，所以用F点纵坐标减去E点纵坐标就能构造出线段EF长的二次函数解析式，所以可设，则EF=，而，因为，所以EF=，同时注意到自变量的取值范围即可求解。例2、.如图，二次函数y=-x2+ (n-1) x+3的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B(-2.0) .(1)求二次函数的解析式;(2)若点P是这个二次函数图像在第二象限内的一点，过点P作y轴的垂线与线段A
2、B交于点C，求线段PC长度的最大值.本题第二问求线段PC的长，因为P、C的纵坐标相等，需用F点横坐标减去E点的横坐标才能构造出线段EF长的二次函数解析式，设，则PC=，因，学生在做到这里的时候就做不下去了，说明学生对函数的概念理解不够深刻，学生的计算能力较差。这里因为PC=，所以要找到的关系就可以了，因，所以，则，最后问题得到解决。小结：通过比较例1与例2的求解过程，遇到求此类问题，以后我们的步骤有如下几步:第一步、设出点坐标。第二步、把要求的线段长用设的点坐标表示出来。第三步、根据题目中点坐标之间的关系求解。例3、如图，二次函数yax2bx2的图象与x轴交于C(1，0)，A两点，与y轴交于点
3、B.直线经过A、B两点(1)求二次函数的表达式；(2)在直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PQAB于点Q，当点P的坐标为多少时，线段PQ的长有最大值，并求出这个最大值本题又不同于前面两题，前两题的线段长还是平行坐标轴的，而这一题PQ即不平X轴也不平行y轴，难度上加大。我们学习过了平行X轴或Y轴的线段长，那么此题能否转化为前面的例1或例2的问题呢？1、定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上(点P与A，B两点不重合)，如果ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的勾股点。(1)直接写出抛物线y=x2-
4、1的勾股点的坐标；(2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a0)与x轴交于A，B两点，点P(1,3)是抛物线C的勾股点，且BAP=60,求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQ=SABP的点Q(异于点P)的坐标巩固练习1. 如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点)，过点P作PFBC于点F，点D、E的坐标分别为(0,6)，(-4,0)，连接PD，PE，DE(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想
5、：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；(3)请直接写出PDE周长的最大值和最小值2. 综合与探究：如图，二次函数y=ax2+bx-6的图象与x轴交于A，B两点，并经过点C(8,-6)，对称轴交x轴于点D.已知点A坐标是(2,0)(1)求点B和点D的坐标；(2)连接并延长CD交抛物线于点E，连接BC，BE，求EBC的面积；(3)抛物线上有一个动点P，与A，B两点构成ABP，是否存在SABP=12SDBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3. 如图，抛物线y=-12x2+bx+c过点A(3,2)，且与直线y=-x+72交于B、C两点，点B的坐标为
6、(4,m)(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；(3)设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使AQM=45？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图，抛物线y=ax2+bx-2经过点A(4,0)、B(1,0)，交y轴于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一点过点P作PHAC于点H，求线段PH长度的最大值；5. 如图，抛物线过x轴上两点A(9,0)，C(-3,0)，且与y轴交于点B(0,-12)(1)求抛物线的解析式；(2
7、)若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值6. 某景区平面图如图1所示，A、B、C、E、D为边界上的点已知边界CED是一段抛物线，其余边界均为线段，且ADAB，BCAB，AD=BC=3，AB=8，抛物线顶点E到AB的距离OE=7.以AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 (1)求边界CED所在抛物线的解析式；(2)如图2，该景区管理处欲在区域ABCED内围成一个矩形MNPQ场地，使得点M、N在边界AB上，点P、Q在边界CED上，试确定点P的位置，使得矩形MNP
8、Q的周长最大，并求出最大周长7. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=12x刻画(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；(2)小球的落点是A，求点A的坐标；(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得POA，求POA的面积；(4)设点Q是线段OA上的一动点，作DQx轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值8. 如图，已知一次函数y=2x+6的图象与反比例函数y=kx(0)的图象相交于点A(1,m)，与x轴相交于点B(1)填空：m的值为_，反比例函数的解析式为_；(2)点P是线段AB上一动点，过P作直线PM/x轴交反比例函数的图
9、象于点M，连接BM若PMB的面积为S，求S的最大值9. 如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2)，B(-1,0)，C(4,0)，P是线段OC上的一个动点(点P与点O，C不重合)，动点P从原点出发沿x轴正方向运动，过点P作直线PQ平行于y轴与AC相交于点Q.设点P的运动距离为m(0mbc，抛物线过点(1,0)，且与直线相交于A、B两点，求线段AB在x轴上的射影长CD的取值范围。11. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-4)，与x轴交于A、B(A在B的左边)，与y轴交于点C(0,-3) (1)求这个二次函数的关系式；(2)连接AC、BC，若M(m,0)是线段OB上一动点(不与点O、B重合)
10、，过点M作MRx轴交BC于点R，作RQ/x轴，交AC于点Q，QNx轴于点N，若矩形MNQR的面积为S.求S的最大值？，并指出此时M点的坐标12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上。设A(t,0)，当t=2时，AD=4(1)求抛物线的函数表达式。(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？13. 如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=ax2+bx+3，已知OA=OC=3OB.动点P在过A，B，C三点的抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)求过A，B，C三点的圆的半径；(3)是否存
11、在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；(4)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标14. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0,-3)，动点P在抛物线上(1)b=_，c=_，点B的坐标为_；(直接填写结果)(2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线A
12、C于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标答案1.【答案】解：(1)抛物线y=x2-1的勾股点的坐标为(0,-1);(2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A(0,0)，如图，作PGx轴于点G，点P的坐标为(1,3)，AG=1，PG=3，PA=12+(3)2=2BAP=60，PBA=30在RtPAB中，PBA=30，PB=2PG=23，AB=2PA=4，即点B的坐标为(4,0)不妨设抛物线解析式为y=ax(x-4)，将点P(1,3)代入得：a=-33，即抛物线解析式为y=-33x2+433x.(3)当点Q在x轴上方时，由SABQ=SABP知点Q的纵坐
13、标为3，则有-33x2+433x=3，计算得出：x1=3，x2=1(与P点重合，不符合题意舍去)点Q的坐标为(3,3);当点Q在x轴下方时，由SABQ=SABP知点Q的纵坐标为-3，则有-33x2+433x=-3，计算得出：x1=2+7，x2=2-7，点Q的坐标为(2+7,-3)或(2-7-3):综上满足条件的点Q有3个：(3,3)或(2+7,-3)或(2-7,-3).2.【答案】解：(1)边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，C(0,8)，A(-8,0)，设抛物线解析式为：y=ax2+c，则c=864a+c=0，解得：a=-18c=8抛物线解析式为y=-18x2+8(2)设P(x,-18x2+8)，则F(x,8)，则PF=8-(-18x2+8)=18x2PD2=x2+6-(-18x2+8)2=164x4+12x2+4=(18x2+2)2PD=18x2+2，d=|PD-PF|=|18x2+2-18x2|=2d=|PD-PF|为定值2；(3)如图，过点E作EFx轴，交抛物线于点P，由d=|PD-PF|为定值2，得CPDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+
