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1、2 月月考数学第 1 页 共 2 页 龙泉中学、宜昌一中 2021 届高三年级 2 月联合考试 数数 学学 试试 题题 命题学校：龙泉中学 本试卷共本试卷共 2 页，共页，共 22 题。题。满分满分150分，考试用时分，考试用时120分钟。分钟。 注意事项：1. . 2. 2B . 3. . 一、单项选择题：本一、单项选择题：本题共题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合 ABy yxA x 1,2,3,4 ,|2, 1 ，则AB A1,2 B2
2、,4 C 1,2,4 D 2若复数z同时满足zz2i，zz i，则z A1 i Bi C 1 i D 1 i 3关于直线 l axby:10，有下列四个命题： 甲：直线l经过点1,0； 乙：直线l经过点0,1； 丙：直线l经过点1,1； 丁：ab0 若只有一个假命题，则该命题是 A甲 B乙 C丙 D丁 4若 x x a 3 8 的展开式中x4的系数为 7，则展开式的常数项为 A 16 7 B 2 1 C 16 7 D 2 1 5 周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五
3、寸， 前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为 （1 丈=10 尺=100 寸） A四尺五寸 B三尺五寸 C二尺五寸 D一尺五寸 6函数 x f xx m ( ) |（其中mR）的图像不可能 是 A B C D 7已知O为ABC的外心，OAOBOC3450，则ABCcos的值为 A 5 5 B 10 10 C 10 5 D 5 10 8已知函数 x f xxx aR aex ln，若 x1,时， f x( )2，则实数a的取 值范围为 A e , 2 2 B e , 1 3 C e , 1 2 D e , 1 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小
4、题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9已知数列an的前n项和为Sn，且 ap 1 ， SSp nn 22 1 （n2，p为常数） ，则下列 结论正确的有 Aan一定是等比数列 B当 p1时，S 8 15 4 C当p 2 1 时， aaa mnm n D aaaa 3856 10已知函数f xxx( )32sinsin2，则下列结论正确的有 A函数f x ( )的最小正周期为 B函数f
5、 x( )在 , 上有 2 个零点 C函数f x ( )的图象关于,3 对称 D函数f x ( )的最小值为 3 11如图，在某城市中，M N,两地之间有整齐的方格形道路网，其中A A A A , 1234是道路网 中位于一条对角线上的 4 个交汇处今在道路网M N,处的甲、乙两人分别要到N M,处， 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N M,处为止， 则下列说法正确的有 A甲从M到达N处的方法有 120 种 B甲从M必须经过A3到达N处的方法有 9 种 C甲、乙两人在A3处相遇的概率为 100 9 D甲、乙两人相遇的概率为 100 41 12已知F F, 1
6、2为双曲线 ab Cab xy :1(0,0) 22 22 的左右焦点，过点F1作渐近线 a yx b 的 垂线交双曲线右支于点 P， 直线PF2与 y 轴交于点 Q（P， Q 在 x 轴同侧） ， 连接QF1， 若PQF 1 内切圆圆心I恰好落在以FF 12为直径的圆上，则下列结论正确的有 A FPF 2 12 BPQF1内切圆的半径为ab COQOI5 D双曲线的离心率为5 三三、填空题（、填空题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知是三角形的一个内角， 3 4 tan，则 3 sin 2 14已知a b,都为正实数，则 aab a b
7、25 的最小值为 15已知A，B两点分别为椭圆 xy 32 1 22 的左焦点和上顶点，C为椭圆上的动点，则ABC 面积的最大值为 O x y O x y 2 月月考数学第 2 页 共 2 页 16如图，长方体 1111 ABCDABC D的长、宽、高分别4 5 8 3、，EF、分别为上底面、下底面 （含边界）内的动点，当 1 AEEFFC最小时，以A为球心，AE的长为半径的球面与上底 面 1111 ABC D的交线长为 四四、解答题： （本大题共、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17
8、（本小题满分 10 分） 在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 222 sinsinsinsinsinACBAC （）求角 B 的大小； （）若ABC为锐角三角形，3b ，求2ac的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足 1 4a ，2 1 b，12 22 ba， 33 2ab （）求 n a和 n b的通项公式； （）数列 n a和 n b中的所有项分别构成集合,A B，将AB的所有元素按从小到大依次排列 构成一个新数列 n c，求数列 n c的前60项和 60 S 19 （本小题满分 12 分） 在三棱锥PABC中，平面PAC
9、 平面 ABC，22PAPBABACBC （）证明：PC 平面 ABC； （）已知 Q，M，N 分别为线段 PB、PA、BC 的中点，求直线 MN 与平面 QAC 所成角的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当 裁判） ，设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为 1 2 ，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局 比赛时受体力影响，胜的概率均变为 2 5 ，第一局甲当裁判 （）求第三局甲当裁判的概率； （）设X表示前四局乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望 21 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2E
10、 xy， 过抛物线上第一象限的点 A 作抛物线的切线， 与 x 轴交于点 M 过 M 作OA 的垂线，交抛物线于 B，C 两点，交OA于点 D （）求证：直线BC过定点； （）若5MB MC，求| |ADAO的最小值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln1 a f xx x 有两个不同的零点 1212 ,x xxx （）求实数 a 的取值范围； （）记( )f x的极值点为 0 x，求证： 0 12 11 2ef x xx 2 月月考数学第 3 页 共 2 页 龙泉中学、宜昌一中 2021 届高三年级 2 月数学试题数学试题参考答案 一、一、单项单项选择题：选择题： 1-4 CD
11、CA 5-8 BCAB 一、一、多项多项选择题：选择题：9BC 10BC 11BD 12ABD 三三、填空题、填空题 13 3 34 10 142 10 15 3 2 2 162 四四解答题解答题 17解解： （）由已知 222 sinsinsinsinsinACBAC，结合正弦定理，得 222 acbac 再由余弦定理，得 222 1 cos 222 acbac B acac ，又(0, )B，则 3 B 4 分 （）由,3 3 Bb ，则由正弦定理，有 2 24sin2sin4sin2sin2 3cos 3 acACCCC 7 分 因为ABC为锐角三角形，则 62 C ，则 3 0cos
12、2 C9 分 所以2ac的取值范围为0, 310 分 18解解： （）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 由 22 42 2145 42221 dqdq dqdq 2 分 2,3qd 4 分 31,2n nn anb6 分 （）当 n c的前60项中含有 n b的前6项时，令 7 127 312128 3 nn 此时至多有41 748项（不符）7 分 当 n c的前60项中含有 n b的前7项时，令 8 31225685nn 且 246 2 , 2 , 2是 n a和 n b的公共项，则 n c的前60项中含有 n b的前7项且含有 n a的前56 项，再减去公共的三项
13、9 分 357 60 56 55 56 4322224844 1705014 2 S 12 分 19解：解： （）证明：取 AB 中点 D，连接 PD，DC PAPB，ACBC，则ABPD，ABDC又PDDCD， AB 平面 PDC，故ABPC.2 分 在ABC中，22ABACBC，BCAC.3 分 又平面PAC 平面 ABC，且交线为 AC，BC 平面 ABC，故BCPC .4 分 又ABPC，ABBCBPC 平面 ABC.5 分 （）如图建立空间直角坐标系，设1AC ，则(0,1,0)A，(1,0,0)B，(0,0,1)P， 11 ,0, 22 Q ， 1 1 0, 2 2 M ， 1 ,
14、0,0 2 N .6 分 设平面 QAC 的一个法向量为( , , )nx y z，(0,1,0)CA， 11 ,0, 22 CQ ， 由 0 0 n CA n CQ ，可得(1,0, 1)n ，.8 分 又 111 , 222 MN ， 16 cos, 3| |3 2 4 n MN n MN nMN .11 分 所以直线 MN 与平面 QAC 所成角的正弦值为 6 3 12 分 20解：解： （）第三局甲当裁判则前两局有两种情形：前两场都是乙胜，前两场都是丙胜，故所求 概率为 12122 25255 P 5 分 （）由于不能连续两局都当裁判，第一局由甲当裁判，故X的可能取值为 0，1，2，6
15、 分 当0X 时，则前三局乙均胜，故 2 122 0 2525 P X ，7 分 当2X 时，乙只能在第 2、4 局中当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，则第一局 丙胜乙败；第二局无论甲丙谁胜，在第三局中甲或丙是连胜概率变为 2 5 ， 故 121 2 255 P X ，9 分 2118 11 25525 P X ，10 分 其分布列为 218128 012 2525525 EX 12 分 21解：解： （）yx ，设点 2 2 ,2(0)Attt ，则2 AM x t kyt ，2 分 直线AM的方程为： 2 22 (2 )ytt xt，即 2 22ytxt， ,0M t，又 OA
16、 kt， 1 BC k t ，4 分 直线BC的方程： 11 1yxtx tt 经过定点0,15 分 （）直线BC与抛物线 2 2xy联立得 2 2 20 xx t ，6 分 设 1122 ,B x yC xy，则 12 2 xx t ， 12 2x x ， 2 月月考数学第 4 页 共 2 页 22 12121 21212 15MB MCxtxty yx xt xxty yt 解得2t，8 分 2 2 2 2 1 22 21 | 1 1 1 1tt t t ADt t t ，9 分 242 | 221AOttt t，10 分 2 2222 2 21 | | 2122172 1 t ADAOtttt t ， 当2t 时， min (| |)72ADAO12 分 22.解：解： （）由( )ln1 a f xx x 得 xx a xf 1 )( 2 2 x xa 0 x 1 分 函数( )ln1 a f xx x 有两个不同的零点 12 ,x x)(xf在，0上不单调， 0a ，2 分 令0)( x f得ax0， 0)( x f得ax， 故)(xf在a，0上单调递增，在 ，a上单调递减，
