《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-2 等差数列及其前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-2 等差数列及其前n项和（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题6.2 等差数列及其前n项和【考情分析】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系【重点知识梳理】知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)知识点二 等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1
2、)d通项公式的推广：anam(nm)d(m，nN*)(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)知识点三 等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)知识点四 等差数列的前n项和公式与函数的关
3、系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)知识点五 等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d, 则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md
4、的等差数列(6)等差数列an的前n项和为Sn, 则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.【典型题分析】高频考点一 等差数列基本量的运算【例1】(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n【答案】A【解析】法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，因为所以解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.
5、【举一反三】 (2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于()A12 B10C10 D12【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10，故选B。【方法技巧】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想(2)求通项a1和d是等差数列的两个基本元素(3)求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解(4)求前n项和利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解【特别提醒】在求解数列基本量问题中主要使用
6、的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷【变式探究】 (2020辽宁大连模拟) 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a24，S422，an28，则n()A3 B7C9 D10【答案】D【解析】因为S4a1a2a3a44a22d22，d3，a1a2d431，ana1(n1)d13(n1)3n2，由3n228，得n10.高频考点二 等差数列的判定与证明【例2】【2019全国II卷】已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，.（I）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（II）求an和bn的通项公
7、式.【答案】（I）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，。【方法技巧】等差数列的判定与证明方法(1)定义法：an1and(d是常数，nN*)或anan1d(d是常数，nN*，n2)an为等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nN*)an为等差数列(4)前n项和公式法：Snan2bn(a，b为常数)an为等差数列【特别提醒】若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，a
8、n1，an2，使得这三项不满足2an1anan2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法【变式探究】（2020河北唐山模拟）已知数列an中，a1，其前n项和为Sn，且满足an(n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明：当n2时，SnSn1.整理，得Sn1Sn2SnSn1.两边同时除以SnSn1，得2.又4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)可得数列的通项公式为4(n1)22n2，所以Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1，不适合上式所以an高频考点三 等差数列的性质与应用【例3】（2020新课标）北京天坛的
9、圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.【举一反三】【2019全国III卷】记Sn为等差数列a
10、n的前n项和，则_.【答案】4【解析】设等差数列an的公差为d,因，所以，即，所以。【方法技巧】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)；数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也成等差数列等差数列的性质是解题的重要工具。【变式探究】（2020安徽蚌埠第二中学调研）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d 【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.【答案】5高频考点四 等差数
11、列前n项和的最值问题【例4】（2020北京卷）在等差数列中，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.【变式探究】(2019北京卷)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值【解析】(1)an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(a38)2(a
12、210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：(函数法)由a110，d2，得Sn10n2n211n，n5或n6时，Sn取最小值30.法二：(邻项变号法)由(1)知，an2n12.所以，当n7时，an0；当n6时，an0.所以Sn的最小值为S630.【方法技巧】求数列前n项和的最值的方法(1)通项法：若a10，d0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；若a10，d0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定；(2)二次函数法：等差数列an中，由于Snna1dn2n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由nN*及二
13、次函数图象的对称性来确定n的值；(3)不等式组法：借助Sn最大时，有(n2，nN*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)。【变式探究】（2018全国卷）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15 （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16【总结提升】1.要注意等差数列前n项和公式的灵活应用，如等2求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)通项变号法当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm。【变式探究】（2020山东德州模拟）两等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn
