《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-5 指数与指数函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-5 指数与指数函数（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【核心素养分析】1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点知识梳理】知识点一 根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN
2、*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.【典型题分析】高频考点一指数幂的运算例1.【2020全国卷文数】Logistic模型是
3、常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln193）A60B63C66D69【答案】C【解析】，所以，则，所以，解得，故选C。【方法技巧】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答【变式探
4、究】（2020四川棠湖中学模拟）0.00210(2)10_【答案】【解析】原式50011010201.高频考点二 指数函数的图像及其应用例2.（2020广西柳州高级中学模拟） 函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0【答案】D【解析】由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.故选D.【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点
5、，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断【变式探究】（2020浙江余姚中学模拟）函数yaxb(a0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是_【答案】(0,1)【江西】因为函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以函数yaxb单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上令x0，则ya0b1b，
6、由题意得解得故ab(0,1)高频考点三 比较指数式的大小例3【2020天津卷】设，则的大小关系为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以.故选D【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式探究】（2020安徽马鞍山二中模拟）已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()AabcBacbCcab Dbca【答案】A【解析】(1)由0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc.因为a20.21，b0.40.21，所
7、以ab.综上，abc.高频考点四 解简单的指数方程或不等式例4.（2020山东日照一中模拟）方程4x|12x|11的解为_【答案】xlog23【解析】当x0时，原方程化为4x2x120，即(2x)22x120.(2x3)(2x4)0，2x3，即xlog23.当x0时，原方程化为4x2x100.令t2x，则t2t100(0t1)由求根公式得t均不符合题意，故x0时，方程无解【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式探究】（2020山东济南外国语学校模拟）已知函数f(x)a的图象过点，若f(x)0，则实数x的
8、取值范围是_【答案】【解析】f(x)a的图象过点，a，即a.f(x).f(x)0，0，24x13，即14x2，0x.高频考点五 指数函数性质的综合应用例5.（2020福建泉州五中模拟）已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值【解析】(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，
9、则f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，)，应使yax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则yax24x3为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0。【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。【变式探究】（2020广东中山一中模拟）设（、为实常数）.（1）当时，证明：不是奇函数；（2）设是奇函数，求与的值；（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集，对任何属于的、，都有成立？若存在试找出所有这样的；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）存在，.【解析】（1）举出反例即可：，所以，函数不是奇函数；（2）是奇函数时，即对定义域内任意实数成立.化简整理得，这是关于的恒等式，所以所以或，经检验都符合题意；（2）当时，因为，所以，从而；而对任何实数成立；所以可取对任何、属于，都有成立.当时，所以当时，；当时，；因此取，对任何、属于，都有成立；当时，解不等式得：.所以取，对任何属于的、，都有成立。
