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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（理科） 第卷 本卷共8小题，每小题5分，共40分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1是虚数单位,复数( )ABCD【解】故选2设，则“且”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解】因为且，则且，因而，所以“且”是“”的充分条件，取，则满足， 但不满足且，所以“且”不是“”的必要条件因此“且”是“”的充分而不必要条件故选3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为( )ABCD 【解】运算过程依次为：当时，当时，当时，当时，所以输出的故选 4已知为等差数列，其公差为
2、，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为 ( )ABCD【解】因为等差数列的公差为，则，因为是与的等比中项，所以，即，所以，于是故选5在的二项展开式中，的系数为( )ABCD【解】，令，则所以，的系数，故选6如图，在中，是边上的点，且，则的值为( )ABCD【解】解法取的中点，因为，所以，因为，所以，于是在中，由正弦定理得，即，所以故选解法2设，由题设，在中，由余弦定理得，所以在中，由正弦定理得，即，所以故选7，则( )ABCD【解】解法1，下面比较，和的大小因为，则最小，因为，所以，因此所以，因而由于函数是上的增函数，所以故选解法2，下面比较，和的大小因为，则最小因为，所以，因而由于函数是上
3、的增函数，所以故选解法3由解法2，,画出函数和的图象,比较的纵坐标，可得，于是因而由于函数是上的增函数，所以故选8对实数和，定义运算“”：设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )ABCD【解】由题设画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点及其下方时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是故选第卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分9一支田径队有男运动员人，女运动员人若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为【解】抽取
4、男运动员的人数为（人）10一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为【解】几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的体积为11已知抛物线的参数方程为(为参数）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则【解】抛物线的普通方程为，其焦点为直线方程为因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即12如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且，若与圆相切，则线段的长为【解】因为，所以设，由相交弦定理，所以，因为与圆相切，由切割线定理，所以13已知集合，则集合【解】解集合当时，不等式化为，解得所以解为；当时，不等式化为，即所以解为；当时，不等式化为，解得，所以解为综合以上，解集合
5、因为，所以，所以，因而14已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为【解】解法1 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的直角坐标系由题设，设，则，当且仅当时，等号成立，于是，当时，有最小值解法2 以相互垂直的向量，为基底表示，得 又是腰上的动点，即与共线，于是可设，有所以即 由于是腰上的动点，显然当，即时，所以有最小值解法3 如图，设为的中点，为的中点，则，因为，则（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”）设为的中点，则为梯形的中位线，设为的中点，且设，则，代入式得，于是，于是，当且仅当时，等号成立由式，所以有最小值三、解答题：本大题共6小题，共80分。
6、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分13分) 已知函数，() 求函数的定义域与最小正周期；() 设，若，求的大小【解】()函数的定义域满足，解得，所以函数的定义域为最小正周期为() 解法因为，所以，所以，于是，因为，所以，所以，因而，因为，所以，所以，解法2因为，所以，所以，因为，所以，于是，整理得，所以，因为，所以，因此解法3，因为，所以得故于是所以16(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球，个黑球，乙箱子里装有个白球，个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱
7、）()求在次游戏中，() 摸出个白球的概率；() 获奖的概率；()求在次游戏中，获奖次数的分布列及数学期望【解】() ()设“在次游戏中摸出个白球”为事件，则()设“在次游戏中获奖”为事件，则，因为和互斥，所以() 的所有可能值为，所以的分布列是数学期望17(本小题满分13分)如图，在三棱柱中中，是正方形的中心，且() 求异面直线与所成角的余弦值；() 求二面角的正弦值；() 设为棱的中点，点在平面内，且，求线段的长【解】解法如图所示，建立空间直角坐标系，其中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴由题意，() ,.所以.() ,，设平面的法向量为，则即令，则，设平面的法向量为，则即令，则，于
8、是，所以所以二面角的正弦值为() 由为棱的中点，得，设点，则因为，则即解得故向量，所以线段的长解法2()由于,故是异面直线与所成的角因为，是正方形的中心，所以，因此() 连接，因为及是的中点则，又，所以过点作于，连，于是，所以为二面角的平面角在中，连，在中，从而所以二面角的正弦值为()因为，所以，取的中点，连接由于为棱的中点，所以，且又，故，因为，所以，连接并延长交于点，则故由，得延长交于，可得，连接在中，由直角三角形的射影定理，所以，连接，在中，18(本小题满分13分) 在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形() 求椭圆的离心率；() 设直线与椭圆相交于两点，是
9、直线上的点，满足，求点的轨迹方程【解】()设，因为为等腰三角形，若，则点在轴上，与矛盾，若，则，由，有，即，或，不合题意，所以，则，由，有，即，（舍去）或所以椭圆的离心率为() 解法1因为，所以，所以椭圆方程为直线的斜率，则直线的方程为两点的坐标满足方程组消去并整理得则，于是不妨设，设点的坐标为则，由得则，由，得，化简得将代入得，所以因此点的轨迹方程为，解法2因为，所以，椭圆方程为直线的斜率，则直线的方程为两点的坐标满足方程组消去并整理得则，于是不妨设，因而点为椭圆短轴的下顶点如图，因为，所以点在线段的内部，设点的坐标为则过和作轴的垂线垂足分别为因为，则，于是，因为，是直线上的点，则，所以即，
10、由得则，于是，因此点的轨迹方程为，解法3因为，所以，所以椭圆方程为直线的斜率，则直线的方程为两点的坐标满足方程组消去并整理得设，则，则因为，所以，将，代入式得，将代入并整理得将代入得，所以因此点的轨迹方程为，19(本小题满分14分) 已知，函数，（的图象连续不断）() 求的单调区间；() 当时，证明：存在，使() 若存在属于区间的，且，使，证明：【解】() ，令，则当变化时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减所以的单调增区间是，单调减区间是() 当时，由()知，在单调递增，在单调递减令由于在单调递增，则，因而取，则，所以存在，使，即存在，使() 由及的单调性知从而在区间上的最小值为又由，则所以即所以20(本小题满分14分) 已知数列与满足，且，() 求，的值；() 设，证明是等比数列() 设，证明【解】()因为，所以又，当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得() 对任意,有 ， ，得代入得，即， 又，由式，对所有，因此，所以是等比数列() 解法1由()可得于是，对任意且，有，将以上各式相加，得，所以此式对也成立由式得从而所以对任意，对于，不等式显然成立解法2由()可得则 ，所以是公差为的等差数列，所以此式对也成立以下同解法120
