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1、第1章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ;2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ;B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则C= .1 .2 随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:(1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: .(3)A与B都不发生,而C
2、发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: .(5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: .2. 设:则 (1) ,(2) ,(3) , (4)= ,(5)= 。1 .3 概率的定义和性质1. 已知,则 (1) , (2)()= , (3)= .2. 已知 则= .1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两
3、颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。2. 已知 则 。1 .6 全概率公式1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,B被误收作A的概率
4、为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。 A B L R C D 2. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案1 .1 1:(1); (2)2:(1); (2)正正,正反正正,反反正正,正反,反正。1 .2 1: (1) ;(2) ;(3) ;(4)
5、;(5) ;(6) 或 ;2: (1);(2);(3);(4)或 ;(5)。1 .3 1: (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2:)=0.4.1 .4 1:(1),(2)(,(3)1-(.2: .1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。1 .6 1: 设A表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .7 1:(1)94%
6、 (2)70/94; 2: 0.993;1 .8. 1: 用A,B,C,D表示开关闭合,于是 T = ABCD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念,离散型随机变量1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五
7、个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。2.2 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布,求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;2 设随机变量X有分布律: X 2 3 , Y(X), 试求: p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y2); (2)P(Y2); (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。2.3 贝努里分布1 一办公室
8、内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少?(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少?(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少?(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?2.4 随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是: F(x) = (1)求 P(X0 ); P;P(X1),(2) 写出X的分布律。2 设随机变量X的分布函数是:F(x) = , 求(1)常数A, (2) P.2.5
9、连续型随机变量1 设连续型随机变量的密度函数为:(1)求常数的值;(2)求X的分布函数F(x),画出F(x) 的图形,(3)用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X服从的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P(- 42), P(X3);(2) 确定c,使得 P(X
10、c) = P(Xc)。2 某产品的质量指标X服从正态分布,=160,若要求P(120X200)0.80,试问最多取多大?2.8 随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为:,;求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量服从(0, 1)上的均匀分布, ,求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案2.1 1: X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62: X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.60.4 0.60.60.60.612.2 1: (1)
11、 P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262, (2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。 2:(1) 由乘法公式:P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4 ()= 2(2)由全概率公式:P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 (3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y2)=2.3
12、 1: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 2: 至少必须进行11次独立射击.2.4 1:(1)P(X0 )=0.5; P = 0.5;P(X1) = 0.5,(2) X的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.52: (1) A = 1, (2) P =1/62.5 1:(1),(2);(3)P(- 0.5X0.5) = ; 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2: (1) (2)2.6 1: 3/5 2: 2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:31.25。2.8 1: Y - 1 1 3