《第 03 讲 函数方程思想与建模(高中版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第 03 讲 函数方程思想与建模(高中版)（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、个人收集整理 勿做商业用途第 3 讲 函数方程思想与建模（高中版) （第课时）神经网络准确记忆！函数方程思想与建模重点难点好好把握！重点：1函数的性质；2函数方程思想；3构造模型解决纯数学问题；4构造模型解决现实世界中的实际问题。难点:构造模型解决现实世界中的实际问题。考纲要求注意紧扣！1能从题目中收集和处理信息；2能把现实世界中的实际问题抽象和简化成数学问题；3能综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题。命题预测仅供参考！函数是中学数学的主线内容,综合性极强,它涉及代数的方程、不等式、数列,以及三角甚至几何问题.对函数方程思想的考查往往都是间接和隐蔽的。函数的相关知识几乎全部出现在考题中,增
2、强对生产与生活中的实际问题的考查力度。近年来高考十分重视对应用问题的考查,题数明显增加，小题向大题转化；紧密联系当前的市场经济和价值规律,应用题的信息来源真实可靠；涉及函数、数列、不等式等高中主要内容，建模思想必将体现在其中. 近年高考试题中应用题的考查情况一览表:考点热点一定掌握！函数思想就是将所研究的问题（包括表面看来的非函数问题）借助建立函数关系式（或构造中间函数），结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、并最终解决.方程思想就是将数学与实际问题中的数量关系运用数学语言转化为方程或不等式模型加以解决。实际上函数和多元方程没有什么本质区别,例如函数,就可以看作二元方程 。所以有时还可以实
3、现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的.要深刻理解一般函数、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），这是应用函数思想解题的基础。数学模型：按广义的解释，数学概念、数学公式以及由它们构成的算法系统都称之为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映.数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。数学建模思想不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理各种实际问题的一般数学方法。数学建模:把现实世界中的实际问题加以抽象和简化,成为数学模型，进而求出模型的解，最后验证模型的合理性（如果不合理，则应该修改假设,重复建模过程）,并用该数学模型所提供
4、的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。用数学建模解决问题的基本步骤如右边的流程图。对于实际应用问题,由于题目文字一般比较多，提供的情景和术语可能比较陌生，陈述的顺序也可能和平时不同，我们必须提高心理承受能力，保持冷静.首先要理解题意，明确问题的实际背景，其次要合理选择变量与参数，最后建立函数、方程或不等式等数学模型，并应用相关知识求解。对于实际问题,常用的模型有：方程不等式模型、函数模型、数列模型、概率统计模型、几何模型、三角模型。“建模”没有固定的模式,要想用好它,需要具备敏锐的观察能力、丰富的联想能力和创造性思维能力，故有一定的难度.用好建模思想解题的关键有二：一
5、是要有明确的建模方向,即为什么目的而建模；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。一。 利用函数方程思想分析问题利用函数思想可以对方程、不等式、参数的取值范围、数列的通项与前n项和之类的问题加以分析.例关于x的不等式232x3x+a2a30 ，当0x1时恒成立，求实数a的取值范围。分析：设,则t1，3，原不等式可化为a2a32t2+t ， t1，3，它等价于a2a3大于f（t）=2t2+t在1,3上的最大值。解：设 ， 0x1 , t1，3，原不等式可化为a2a32t2+t ， t1,3，设 ，则其图像开口向上，顶点横坐标为 ，故其在区间1，3内的最大值在端点1处取得， ，解 a2a3
6、1 得 （，1）（2,+)点评:本题利用函数思想分析不等式以及求参数的取值范围.例（1992年高考理科题）设等差数列an的前n项和为Sn.已知a3=12,S120，S130。 求公差d的取值范围。指出S1,S2，,S12中哪一个值最大，并说明理由分析：对于第问，利用S是n的二次函数，将问题转换为求二次函数的最值问题。解： 由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12（122d)66d14442d0，S13a78d13(122d）78d15652d0. 解得:d3. Snan（n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因为d0，故n（5）最小时，S最大。由d3得6（5)6。5，
7、故正整数n6时n(5)最小，所以S最大。点评：数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。例已知二次函数f（x)=ax2+bx（a，b为常数,且a0）满足条件:f（x1）=f(3x）且方程f(x)=2x有等根。（1)求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（mn，使f(x）定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由。解：（1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2.由f(x1)=f（3x）知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f（x）=x2+2x.（2）f（
8、x）=(x1）2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1n时,f（x）在m,n上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则又mn，m=2，n=0，这时定义域为2,0，值域为8，0.由以上知满足条件的m、n存在,m=2，n=0。二构造函数、方程或不等式解决问题一个数学问题，如能建立描述其数量关系的函数表达式、方程（组）或不等式(组），则一般可使问题得到迅速解决。1方程不等式模型方程和不等式是中学阶段重要的解题工具，生产和生活中广泛存在着的一些量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输等“优选”“控制”问题中涉及到的有关量之间的求解问题，常常可以归结
9、为解方程或解不等式问题。例.（高三)设是由正数组成的等比数列，是其前n项的和,求证： 。解：原不等式化为 ，（ ，),因为该不等式与一元二次方程的根的判别式相似，故我们构造方程 ，要 ，只要方程 有两个不等的实根，当公比q1时，方程为 ，即 ,显然有两不等的实根；当公比q1时，方程为 ，即 ，显然有两不等的实根。综上所述，原不等式成立.点评：本题构造方程证明数列不等式。例.（高一)已知，求的值令，则，与已知条件联立，解得，由，整理得，解得点评：本题利用方程思想对三角函数求值.例。（高二）在正三棱锥VABC中,已知侧棱VA与侧面VBC所成的角为且Cos,三棱锥的体积为。已知底棱与侧棱之比小于 2
10、，求底面中心O到侧面VBC的距离。分析：可知，关键是求出正三棱锥的侧棱l与底棱a的长，通过题设的已知条件，寻找出未知量l、a的关系式，列出方程再行求解.简解：列出方程如下：CBAV从而O到侧面VBC的距离为 。点评：本题列出方程组解决立体几何问题。例.（高二）设且求的最小值.解：由 ，得 。视为未知数，记 由方程 解出 或 （舍）。故不等式的解为 ,得 。点评：本题从已知的等式出发构造出一个不等式，再通过解不等式求出所需式子的范围。例.（高一）在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开,小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点
11、开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船。若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？分析：不妨画一个图,将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型.OABvt2(1k)t4kt15设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑,而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为,则人
12、在水中游的时间为，人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且解得。 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.点评：本题使用方程模型。 例。（高三)某地现有耕地10000公顷,规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食含有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷） 解:欲求耕地平均每年至多减少量，关键决定于人均粮食占有量，所以应该列出关于人均粮食占有量的关系式：现在的
13、人均粮食占有量与10年后人均粮食占有量的关系。 设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现在人口为p人，粮食单产为M吨/公顷，依题意，得不等式： 按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷。点评：本题使用不等式模型。本试题以土地资源的变化为背景考查了不等式及二项式定理的有关知识,对计算能力有较高要求，通过该题也对学生进行了适当的国情教育，使其懂得了数学在国民经济建设中的应用价值。例（2003年高考理科题）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以1
14、0km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?O北东Oy线岸OxOr(t)P海解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向。台风中心P()的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有 即 ,即 ，解之得 .答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭。例（2004年高考理科北京题）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是: 首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的,称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为)、第四组(余差为）、，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止。 （I)判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数; （II）当构成第n（nN）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明; （II
