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1、常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题、 、 、零稳定中心二计算题、解：因为，所
2、以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 、解： 三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如_的方程，称为变量分离方程，这里.分别为
3、x.y的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、 如果存在常数_对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解_-。二、 计算题40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。 4、 求方程三、 证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 常微分方程期终试卷答卷一、 填空题（每空5分）1 2、 z=34、5、二、 计算题（每题10分
4、）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解为4、解 三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)=(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。 （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=A
5、x的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)3、设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。3、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵，且都满足初始条件，所以常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30分）1称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _ 。2函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若为毕卡逼近序列的极限，则有_ 。4方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。6若为齐
6、线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；向量函数= _ 是的满足初始条件的解。8若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9满足 _ 的点，称为驻定方程组。二 计算题 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程的通解。14试求方程组的解 三证明题 （10分） 16如果是满足初始条件的解，那么 常微分方程期终考试试卷答案一填空题 （30分）
7、 1 2在上连续，存在，使，对于任意 3 4 5 6 7 8 9二计算题 （60分） 10解： 积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程： 两边积分得： 得： 因此方程的通解为： 11解：令 则 得： 那么 因此方程的通解为： 12解： ， 解的存在区间为 即 令 又 误差估计为： 13解： 是方程的特征值， 设 得： 则 得： 因此方程的通解为： 14解： 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为： 三证明题 （10分） 16证明：由定理8可知 又因为 所以 又因为矩阵 所以常微分方程期终考试试卷(6)三 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、 当_时，方程M(x,y)d
8、x+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。2、_称为齐次方程。3、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。8、满足_的点（），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2、 2、解方程： (2
9、x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么 常微分方程期末考试答案卷一、 一、 填空题。（30分）1、2、3、y=+4、连续的5、w6、n个线性无关解7、8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零 稳定中心二、计算题。（60分）1、解： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以2、解：，令z=x+y则所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即3、解： 设f(x,y)= ,则 故在的任何区域上存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 显然，是通过点（0，0）的一个解； 又由解得，|y|= 所以，通过点（0，0）的一切解为及|y|=4、解： (1) 齐次方程的通解为x= (2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是 通解为x=+5、解： det()= 所以， 设对应的特征向量为 由 取 所以，= 三、证明题。 （10分）证明： 设的形式为= （1） （C为待定的常向量） 则由初始条件得= 又= 所以，C=
