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1、个人收集整理 勿做商业用途第二章 平稳时间序列模型本章将介绍BoxJenkins方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。21 平稳性 时间序列的均值和协方差 一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。如果这个过程是正态过程， 可以完全刻画这个随机过程的分布性质。如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。下面的问题是如何来估计，对于一些过程我们可以得到大量的实现(反复做观测）那么，的估计是 但对大多数过程来说，得不到更多的实现。如,不可能把经济停下来，然后重新开始观测。对一个实现，不可能估计出。 为了克服这个困难,时间序
2、列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。 如果对任何t, t-s， 都有 这里 都是常量，与时间无关，是依赖于的常量。这样的随机过程称为协方差平稳.可以简单地说,如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程.（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）.一个更进一步的假设是遍历性(ergodic)。这是一个较难理解的一个概念。遍历性是指，按时间平均 是总体均值的无偏、一致估计。即。同理，的估计也是一致的。 因此，如果有平稳性和遍历性的假设,利用关于时间的平均，就可以得到较好的估计。遍历
3、性的一个必要条件（但不充分)是。对于一个协方差平稳的序列，和之间的自相关系数可定义为 因此， 之间的自相关系数与之间的自相关系数相同，显然.序列描述了这个过程的一个值与先前的值的相关程度,所以自相关系数可用来测量过程本身的记忆性的长度和强度,即在时刻t的值与时刻ts 的值的相关程度。的图形被称为相关图.用来刻画这个过程生成机制的线性性质。 2.2 自回归模型如果一个时间序列可表示成是零均值白噪声则称为一阶自回归过程。记为。由Yule （1927） 引入,起源于实践.如，每月的失业人数可认为是上月失业人数的一个固定比例，加上寻求职业的工人数。如果这些人数形成一个白噪声序列,那么，失业序列就是一阶
4、自回归。更一般的形式称为阶自回归过程。记为。如果=0的根在单位园外，则过程是平稳的。用滞后算子表示为 ,它的一般解为 。如果平稳性条件成立，则。这里,。特别地，如果那么，所以， (2。2。1）如果，则,由此可看出，如果，的解具有发散性质。 2.3 运动平均模型一般的运动平均的模型是 按这样方式构成的序列被称为阶为q的运动平均，记为MA（q)。 运动平均过程由Yule （1926）引出,Wold （1938）进行了详细地研究。如果一个经济变量处在均衡中， 如果受到来自经济系统内部（或外部）不可预期事件的冲击而偏离原来状态.如果本系统并不能立刻吸收这些冲击效应，那么，将出现一个运动平均模型。如，一
5、个小型商品市场得到了一系列关于农产品状况的信息， 一条特别新闻对价格有即时影响，也有不同程度的滞后影响，令表示价格在t 处的变化,假设这种冲击影响价格变化，直到q 天，这种冲击影响消失。 这时,较适当的模型是MA(q）如果影响是逐渐消失），即天前的影响是，则 , 由（2。2.1），可表示成 这时，过程等价于过程. 由2。2节知道,平稳的过程可以写成,那么，如果的根在单位园外（可逆性性条件成立），则过程可以写成过程. 2.4 ARMA 模型将自回归模型和运动平均模型结合起来， （2。4.1)总可以将标准化成1，如果自回归部分和运动平均部分的滞后阶数分别为p，q,模型被称为ARMA（p,q）。如果
6、q=0，这过程被称为自回归过程AR（p)， 如果p=0， 这过程是运动平均过程MA(q)。在ARMA模型中，允许p，q是无限的.用滞后算子表示为 这里.这时容易知道：（1） 如果的根在单位园外，则过程是平稳的。（2） 如果过程是平稳的,则有一个等价的过程。（3） 如果的根在单位园外（通常称为可逆性条件)，则有一个等价的过程。 这说明，一个平稳的ARMA过程可以逼近高阶MA 过程。如果过程满足可逆性条件, 这过程可以逼近高阶AR 过程. 25 自相关函数 BoxJenkins（1976）在识别和估计时间序列时，给出了非常有用的工具是自协方差和自相关。如AR（1)模型 每个除,得到自相关。对于AR
7、(1）过程，平稳的必要条件是.相对 s的图形称为自相关函数(ACF)。因此，如果这个序列是平稳的，这个自相关函数是几何收敛到零。如果是正的，则这个自相关函数直接收敛到零。如果是负的，这个自相关函数按振荡的方式收敛到零.AR(2)过程的自相关函数 （2。5。1）这里省略了截距项，这是因为截距不影响ACF。下面利用Yule-Walker方程的方法：用分别乘方程(2。5。1）两边，并取期望,可得由于 ，可得 （2。5.2） (2.5.3） （2。5.4)用除方程（2。5。3),(2.5。4）得 （2.5.5) （2。5。6)由，有，因此，利用方程（2。5.6）可求出所有。 对于二阶过程的平稳性限制条
8、件是的根在单位圆外，如果根是实的，自相关按指数衰减;如果根是复的，自相关按震荡式衰减.MA（1)过程的自相关函数下面考虑MA(1)过程。用乘方程两边，并取期望，可得YuleWalker方程并，用除可得ACF：。下面求MA（q) 过程，的自相关函数.所以， 。因此，对充分大的. 下面求ARMA(1，1）过程的自相关函数 考虑ARMA(1,1）过程，可同样求出YuleWalker方程： 因此， .因此,ARMA（1，1）的ACF类似于AR(1）的ACF。如果收敛是直接的，如果，收敛是振荡的。 26 偏自相关函数为了说明偏自相关函数的作用，考虑自回归过程AR(p）则有，两端同除得 对任何随机过程,偏
9、自相关被定义为下面方程的解: 因而，对任何阶为p的自回归过程，偏自相关,阶数大于p的偏自相关为零。 之间的偏自相关不依赖于 之间的们的相关性。求偏自相关函数的直接方法是：首先从序列中减去序列的平均值，获得一个新序列，然后构造一阶自回归，这里是误差项，可以不是白噪声.这时,既是之间的自相关也是偏自相关。构造二阶自回归是之间的偏自相关函数。即是之间除去的影响后的相关系数。 重复这个过程得到偏自相关函数（PACF).大多数统计计算软件包都有相应的计算程序。 下面给出了各种ARMA过程的ACF和PACF的性质。表2。6。1 ACF和PACF的性质过程ACFPACF白噪声所有所有AR（1）:，指数衰减：
10、AR(1）:，振荡衰减:AR(p)衰减（可以振荡）到零在期前有峰值，但在期之后MA(1):在滞后1期处有正峰值，但振荡衰减,MA(1):在滞后1期处有负峰值，但几何衰减,ARMA（1，1) 在滞后1期处开始按几何衰减 在滞后1期处振荡衰减 ARMA(1，1) 在滞后1期处开始振荡衰减 在滞后1期处按指数衰减ARMA（p，q）在滞后q期开始衰减(或直接或振荡)在滞后p期开始衰减（或直接或振荡) 2。7 平稳序列的样本自相关 在实际中，一个序列的理论均值、方差、自相关通常是未知的.如果这序列是平稳的,我们可以用样本均值，样本方差，样本自相关来估计它们。假设有T个观测值，令是的估计量： 对每个可用样
11、本自相关函数ACF和样本偏相关函数PACF与理论值做比较来识别数据生成过程的性质。Box-Jenkins（1976)在是平稳具有正态误差假设下,讨论了样本值的分布和的分布。在零假设下，渐近服从均值为零的正态分布，其中方差为 （2。7。1）在零假设下，渐近服从均值为零的正态分布,其中，的方差渐近于。 在实际检验中，我们可以使用这些样本值来构造样本自相关和偏相关函数,利用（2。7。1）进行显著性检验。例如,如果我们使用95%置信区间（即，2个标准差)，且计算出的值大于，则拒绝零假设一阶自相关在统计意义上不是显著异于零.拒绝零假设意味着接受备择假设。下面检验是否 这时，,如果 则=0.015，标准差
12、为0.123。如果 超过，则拒绝假设。因此，拒绝零假设意味着接受备择假设。重复上述过程，我们可确定这个过程的阶数。Q-统计量可用来检验自相关是否显著不为零，BoxPierce （1970） 利用样本自相关构造了统计量在下,Q是渐近-分布，自由度为s，较高的样本自相关可导致较大Q的值.显然，白噪声过程(所有的自相关都为零）的Q值为零.如果Q的值超过表中的临界值，我们可以拒绝零假设（ 各阶自相关都为零)，意味着接受备择假设:至少有一个自相关不为零. 然而，即使在大样本情况下，BoxPierce的Q统计量有偏差，Ljung和Box（1978）给出了修正的Q-统计量如果这个Q值超过表中的临界值，那么至
13、少有一个在给定的显著水平上显著不为零。 BoxPierce和LjungBox的Q统计量也可用来检验来自于ARMA（p，q）模型的残差是否为白噪声。但是，如果对ARMA(p,q） 模型的残差计算s个自相关，则Q统计量的自由度就会由待估计的系数个数增加而减少.因此，如果检验ARMA(p，q）模型的残差时，Q统计量有自由度为spq的分布,（如果包含常数的话,自由度就是sp-q-1)。 2.8 选择模型准则一个自然的问题是：所选择的模型拟合数据效果如何?增加滞后阶数一定能减少残差平方和。但是增加滞后阶数需要估计更多的参数，使自由度减少.而且，系数个数的增加降低预测的精度。因而产生了各种选择模型的准则（能降低残差平方的更节俭的模型）.有两个通常使用的准则是Akaike信息准则(AIC）和Schwartz Bayesian准则（SBC）。 AIC=T ln（残差平方和）+2n SBC=T ln(残差平方和）+n ln(T)这里n=估计的参数的个数（p+q+常数项个数），T=观测值个数。当使用滞后变量估计模型时，一些观测值被损失.为了比较选择的模型，T应当是固定的。当然希望AIC和SBC尽可能小（也可能是负的），随着模型拟合的
