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1、个人收集整理 勿做商业用途第9讲 随机变量及分布列一、基础练习1. 某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.；B。 ；C。 ；D. 2. 甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 （答案用分数表示） 3. 一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 。4. 掷两枚骰子，在已知它们的点数不同的条件下，至少有一枚
2、是6点的概率是 。二、典型例题例1、 三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.(1）求恰有二人破译出密码的概率；(2）“密码被破译”与“密码未被破译的概率哪个大?说明理由.例2、 在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的。若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中：（1）恰有两道题答对的概率;（2）至少答对一道题的概率。例3、 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0。25，在B
3、处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 (1）求q的值； （2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。例4、 （2009辽宁卷理）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1：3：6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.（1）设X表示目标被击中的次数,求X的分布列；(2）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分
4、被击中2次”，求P(A） 三、巩固练习1. 某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A。 B。 C。 D。2. 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(）3. 连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）A；B；C;D4. 某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 （用数值作答)5. 设离散型随机变量X的分布列为X123PaY=aX+1，则E（Y)= ，D(Y)= . 6. 一个口袋中有20个球,其中有7个黑球,甲、乙、丙依次不放回地各取一球，求下列事件的概率。(1）甲乙都取
5、到黑球；(2）甲没有取到黑球而乙取到黑球;(3）甲、乙、丙都取到黑球。7. （2009北京卷文）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率。8. 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0。3,0.1，乙击中8环,9环，10环的概率分别为0。4，0。4，0.2设甲、乙的射击相互独立（1）求在一轮比赛中甲击中的环数
6、多于乙击中环数的概率；(2）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率9. .（2009浙江卷理）在这个自然数中，任取个数 (1）求这个数中恰有个是偶数的概率； (2）设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望第9讲 随机变量及分布列(含答案)复习要点1离散型随机变量及分布列：随机变量、离散型随机变量的的分布列、离散型随机变量的的分布列的性质.2条件概率：条件概率的计算：条件概率的性质：若B,C是两互斥事件，则3事件的相互独立性:相互独立事件及简单性质；相互独立事件同时发生的概率;4独立重复试验：在n次独
7、立重复试验中事件某事件发生k次的概率：5几种重要的分布：两点分布:超几何分布：二项分布:6离散型随机变量的均值与方差：均值与方差的性质:；一、基础练习1. （08福建卷理5）某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A。；B。 ；C。 ；D。 【答案】B解:由2. (07广东）甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球， 乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 （答案用分数表示) 3. (2006年福建卷)一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以
8、数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是 。4. 掷两枚骰子，在已知它们的点数不同的条件下,至少有一枚是6点的概率是 。二、典型例题例1、 （福建卷文18）三人独立破译同一份密码。已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.(1)求恰有二人破译出密码的概率；（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。解：记“第i个人破译出密码”为事件A1（i=1,2,3)，依题意有且A1，A2，A3相互独立.（1）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有BA1A2A1A3+A2A3且A1A2，A1A3,A2A3彼此互斥于是
9、P（B)=P（A1A2)+P(A1A3）+P（A2A3）。答：恰好二人破译出密码的概率为。（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D。D，且，互相独立，则有P（D）P(）P(）P（)。而P（C）1P（D)，故P（C）P（D）.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大。例2、 （重庆卷文18）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的。若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1）恰有两道题答对的概率；(2）至少答对一道题的概率.解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选择正确这一事件发生的概率为. 由独立重复试验
10、的概率计算公式得： （1)恰有两道题答对的概率为 (2）解法一：至少有一道题答对的概率为 解法二：至少有一道题答对的概率为例3、 （2009山东卷理）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0。25，在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求q的值； （2）求随机变量的数学期望E;(3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过
11、3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。解:(1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A）=0。25，, P（B)= q，。根据分布列知： =0时=0.03，所以，q=0。8.(2)当=2时， P1= =0。75 q( )2=1。5 q( ）=0.24当=3时, P2 =0。01，当=4时, P3=0.48,当=5时, P4=0。24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0。24 0。01 0.48 0。24 随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为；该同学选择(1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.
12、48+0.24=0.72。由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大。例4、 （2009辽宁卷理）某人向一目射击4次,每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(）若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P（A) 解：（）依题意X的分列为. （）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”,i=1，2。 B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2。依题意知P（A1）=P(B1）=0。1，P（A2）=P（B2）=0.3，所求的概率为 三、巩固练习1. (08福建卷文5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( ）A。 B. C。 D。【答案】C由2. （07江西）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(）答案：B解析：一骰子连续抛
