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1、类型八二次函数与平行四边形有关的问题【典例1】已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上找一点E，使得EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，3+）、（0，3）、（0，）；（3）存在，P（1+2，0）、Q（1+2，4）或P（12
2、，0）、Q（12，4）【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论【详解】解：（1）抛物线的顶点为（1，4），设抛物线的解析式为ya（x1）24，将点C（0，3）代入抛物线ya（x1）24中，得a43，a1，抛物线的解析式为ya（x1）24x22x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为yx22x3，令y0，则x22x30，x1或x3，B（3，0），A（1，0），令x0
3、，则y3，C（0，3），AC，设点E（0，m），则AE，CE|m+3|，ACE是等腰三角形，当ACAE时，m3或m3（点C的纵坐标，舍去），E（3，0），当ACCE时，|m+3|，m3，E（0，3+）或（0，3），当AECE时，|m+3|，m，E（0，），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，3+）、（0，3）、（0，）；（3）如图，存在，D（1，4），将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线yx22x3中得，t22t34，t1+2或t12，Q（
4、1+2，4）或（12，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，抛物线yx22x3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，4），FBPG312，点P的横坐标为（1+2）21+2或（12）212，即P（1+2，0）、Q（1+2，4）或P（12，0）、Q（12，4）【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键【典例2】如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由
5、。【解析】（1）直线经过点, 抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形【典例3】已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在
6、，请说明理由【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）【解析】【分析】（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；（2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式；（3）分若Q在B右边，若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几
7、种情况讨论即可【详解】解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，当y=0时，即（x+3）（1-x）=0解得x1=-3，x2=1，A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），当x=0时，y=-02-20+3=3，C的坐标为（0，3），综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）设B（t，0），由题意得y2由y1平移所得，a=-1，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，D（，），B和B是对称点，D在对称轴上，BDB=90，BDB是等腰直角三角形，yD=|BB|，=（t-1），解得t=3，B（3，0），y2=-x2
8、+4x-3；（3）若Q在B右边，则P在x轴上方，且CPBQ，yP=yC=3，此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；若Q在B左边，当BQ为边时，则CPBQ，此时yP=yC=3，P点在y1上，将yP=3，代入y1得，解得x1=0，x2=-2，此时P的坐标为（-2，3）；当BQ为对角线时，则BCQP，yC-yB=3，yQ-yP=3，Q在x轴上，yP=-3，将yP=-3代入y1得，解得x1=-1+，x2=-1-，将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，解得x1=0，x2=4，P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-
9、3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键【典例4】如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；【解析】解：（1）点A（1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，抛物线的
10、解析式为：y=x2+2x+3（2）在抛物线解析式y=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3设E点坐标为（x，x2+2x+3），则P（x，0），F（x，x+3），EF=yEyF=x2+2x+3（x+3）=x2+3x四边形ODEF是平行四边形，EF=OD=2，x2+3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，P点坐标为（1，0）或（2，0）【典例5】如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A、B两点，（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在轴上，点F在抛
11、物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）CABOyx【解析】解：（1） C (0,3) 又tanOCA=A（1，0）又SABC=6AB=4 B（，0）（2）把A（1，0）、B（，0）代入得： ， 顶点坐标（，）（3）AC为平行四边形的一边时 E1析(，0) E2（，0） E3（，0）AC为平行四边形的对角线时 E4（3，0）【典例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式（2）若点P在第四象限，
12、连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【解析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t3），则M（t，t22t3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；（3
13、）由PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x3；（2）设点P的坐标是（t，t3），则M（t，t22t3），因为p在第四象限，所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，当t=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3当P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是或【典例7】如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在
