《55. 与平移有关的探究题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《55. 与平移有关的探究题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、类型五 与平移有关的探究题1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据2平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平
2、移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据【典例1】在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是_，位置关系是_； 【拓展探究】(2)如图，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立
3、？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且AHQ120，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度【答案】解：(1)AHPH，AHPH；【解法提示】如解图，连接HC，四边形ABCD是正方形，BDC45，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，HDPHQC45，由平移的性质可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC.HPHC，DHPQHC.根据正方形是轴对称图形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDQHC90，即AHPH.HAHP，AHPH.(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：如解图，连接HC，四边形ABCD是正方形，BD
4、C45，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDPHQC135，HDHQ，由平移的性质可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC(SAS)，HPHC，DHPQHC，根据正方形是轴对称图形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDCHQ90，HAHP，AHPH；(3)DP2.【解法提示】由(1)知，AHPH，AHPH，HPA45，AHQ120，PHQ1209030.PHDQHDPHQ60，AHBCHBAHPPHD30，CHPCHBAHB30，CPH75，APDCPHAPH30，在RtADP中，AD2，DP2.【典例2】在中，交BA的延长线于点G特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图
5、1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B通过观察、测量BF与CG的长度，得到请给予证明猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【答案】（1）证明见详解；（2）DE+DF=CG，证明见详解；（3）成
6、立【解析】【分析】（1）通过条件证明BFCCGB，即可得到；（2）过点B作BMCF交CF延长线于M，过点D作DHBM于H，通过BMCCGB，得到BM=CG，然后由四边形MHDF为矩形，MH=DF，最后再证明BDHDBE，得到BH=DE，即可得到结论；（3）同（2）中的方法【详解】（1），ABC=ACB，在BFC和CGB中， BFCCGB，（2）DE+DF=CG，如图，过点B作BMCF交CF延长线于M，过点D作DHBM于H，ABC=ACB，在BMC和CGB中，BMCCGB，BM=CG，由题意和辅助线可知，M=90，MFD=90，MHD=90，四边形MHDF为矩形，MH=DF，DHMF，HDB=M
7、CB，HDB=ABC，在BDH和DBE中，BDHDBE，BH=DE，BM=CG，BM=BH+HM，DE+DF=CG，（3）成立，如图，过点B作BMCF交CF延长线于M，过点D作DHBM于H，同（2）中的方法，ABC=ACB，在BMC和CGB中，BMCCGB，BM=CG，由题意和辅助线可知，M=90，MFD=90，MHD=90，四边形MHDF为矩形，MH=DF，DHMF，HDB=MCB，HDB=ABC，在BDH和DBE中，BDHDBE，BH=DE，BM=CG，BM=BH+HM，DE+DF=CG【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于几何动态问题，能够正确的构造辅助线找到全等三角形是解题的关
8、键【典例3】如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到ACD（1）证明AADCCB；（2）若ACB=30，试问当点C在线段AC上的什么位置时，四边形ABCD是菱形，并请说明理由 【思路点拨】（1）根据已知利用SAS判定AADCCB；（2）由已知可推出四边形ABCD是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABCD是菱形，由已知可得到BC=AC，AB=AC，从而得到AB=BC，所以四边形ABCD是菱形【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ACD由ACD平移得到，AD=AD=CB，AA=CC，ADADBCDAC=BCAAADCCB（2）解：当点C是线段AC
9、的中点时，四边形ABCD是菱形理由如下：四边形ABCD是矩形，ACD由ACD平移得到，CD=CD=AB由（1）知AD=CB四边形ABCD是平行四边形在RtABC中，点C是线段AC的中点，BC=AC而ACB=30，AB=ACAB=BC四边形ABCD是菱形【典例4】 如图（1）所示，一张三角形纸片，.沿斜边AB的中线CD把这线纸片剪成和两个三角形如图（2）所示.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一条直线上），当点与点B重合时，停止平移，在平移的过程中，与交于点E，与分别交于点F，P.（1）当平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中与的数量关系，并证明你的猜想.（2）设平移距离为，与重叠部分的面
10、积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的，使得重叠部分面积等于原纸片面积的？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)D1E=D2FC1D1C2D2，C1=AFD2又ACB=90，CD是斜边上的中线，DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1C1=A，AFD2=AAD2=D2F同理：BD1=D1E又AD1=BD2，AD2=BD1D1E=D2F（2）在RtABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理，得AB=10即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5又D2D1=x，D1E=BD1=D2F=AD2=5-xC2F=C1E=x在B
11、C2D2中，C2到BD2的距离就是ABC的AB边上的高，为设BED1的BD1边上的高为h，由探究，得BC2D2BED1，h=SBED1=BD1h=（5-x）2又C1+C2=90，FPC2=90又C2=B，sinB=，cosB=PC2=x，PF=x，SFC2P=PC2PF=x2而y=SBC2D2-SBED1-SFC2P=SABC-（5-x）2-x2y=-x2+x（0x5）（3）存在当y=SABC时，即-x2+x=6，整理得3x2-20x+25=0解得，x1=，x2=5即当x=或x=5时，重叠部分的面积等于原ABC面积的【典例5】如图（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到.（1）
12、求所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若求AC的长.BCA（）FE【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到SEFA=SBAF=SABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；（3）作BDAC于D，结合三角形的面积求解【答案与解析】（1）由平移的性质得AFBC，且AF=BC，EFAABC四边形AFBC为平行四边形SEFA=SBAF=SABC=3四边形EFBC的面积为9；（2）BEAF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形BFAC，且BF=AC又AE=CABFAE且BF=AE四边形EFBA为平行四边形又已知AB=ACAB=AE平行四边形EFBA为菱形BEAF；（3）如上图，作BDAC于DBEC=15，AE=ABEBA=BEC=15BAC=2BEC=30在RtBAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2xSABC=3，且SABC=ACBD=2xx=x2x2=3x为正数x=AC=2
