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1、压轴23 立体几何中的向量方法一、单选题1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E/平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是A. 13 B. 33 C. 12 D. 22【答案】B【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，1，1，0，1，B1E=(a1,1,c1)，DB=(1,1,0)，DC1=(0,1,1)，设平面的法向量n=(x,y，则nDB=x+y=0nDC1=y+z=0，取，得n=(1,1,1)，平面，B1En=a1+1+c1=0，解得，设直线与直线AB所成角为，
2、AB=(0,1,，cos=|ABB1E|AB|B1E|=1(a1)2+1+(c1)2，sin=11(a1)2+1+(c1)2=11a2+c22(a+c)+3直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是故选B2. 已知三棱锥PABC中，ABC为正三角形，PAPBPC，且P在底面ABC内的射影在ABC的内部(不包括边界)，二面角PABC，二面角PBCA，二面角PACB的大小分别记为，则A. B. C. D. PBPC，二面角PABC，二面角PBCA，二面角PACB的大小分别为，=PDO，=PEO，=PFO，OAOBOC，AB=BC=AC，ODOFOE，故选C3. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与
3、底面垂直的四棱锥称之为阳马在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD=AD，点E是PC的中点，则PD与BE所成角的余弦值为A. 33B. 36C. 63D. 66【答案】D【解析】解：由题意，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=CD=AD=2，则P(0,0，2)，D(0,0，0)，B(2,2，0)，E(0,1，1)，所以PD=(0,0，2)，BE=(2,1,1)，所以cos=PDBE|PD|BE|=226=66，PD与BE所成角的余弦值为66故选D4. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱上(除去棱AD)到直线A1B与C
4、C1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E,F,G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为A. 2613B. 22613C. 27839D. 47839【答案】D【解析】解：正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点(靠近B1)，假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点(靠近B1)为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则E(1,2，0)，F(32,2，2)，G(0,0，2)，A(2,0，0)，C1(0,2，2)，EF=(12,0,2)，GF=(3
5、2,2,0)，AC1=(2,2，2)，设平面EFG的法向量n=(x,y，z)，则nEF=0nGF=0，即12x+2z=032x+2y=0，取x=4，得n=(4,3,1)设直线AC1与平面EFG所成角为，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sin=|cos|=47839故选D5. 正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：AD与BC所成的角为60；AC与BD所成的角为90；BC与面ACD所成角的正弦值为63；二面角ABCD的平面角正切值是2；其中正确结论的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO，则AOBD，COBD，正方形ABCD沿对
6、角线BD折成直二面角，即平面BCD平面ABD，又平面BCD平面ABD=BD，AO平面ABD，AO平面BCD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则A(0,0，1)，B(0,1,0)，C(1,0，0)，D(0,1，0)，AC=(1,0,1)，BD=(0,2,0)，AD=(0,1,1)，BC=(1,1,0)cos=ADBC|AD|BC|=122=12，异面直线AD与BC所成的角为60，故正确；AC=(1,0，1)，BD=(0,2，0)，ACBD=0，ACBD，故正确；设面ACD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1AC=x1z1=0n1AD=y1z
7、1=0,令x1=1，则y1=1，z1=1，面ACD的一个法向量为n1=(1,1,1)，设直线BC与面ACD所成夹角为，则，故正确；平面BCD的法向量n=(0,0，1)，BA=(0,1，1)，BC=(1,1，0)，设平面ABC的法向量m=(x,y，z)，则mBA=y+z=0mBC=x+y=0，取x=1，得m=(1,1,1)，cos=13，sin=1(13)2=63二面角ABCD的平面角正切值是：6313=2，故正确故选A6. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是线段A1C1和BD的中点，P，Q分别在线段A1C1和BD上运动，且PE+QF=1，则PQ的中点M的轨迹是A.
8、四边形B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】解：以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则在正方体ABCDA1B1C1D1中，E(1,1，2)，F(1,1，0)，设P2y0,y0,2,Qx0,x0,0，则PE=2y012+y012=2y01，QF=x012+x012=2x01，设M的坐标为M(x,y，1)，则2x=2y0+x0，2y=y0+x0，解得x0=x+y1y0=yx+1,则PE+QF=1即为2yx+2x+y2=1，所以PQ的中点M的轨迹是以斜率为1的四条线段构成的四边形故选A7. 设点M是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD的
9、中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是A. 255B. 22C. 1D. 63【答案】A【解析】解：如图，过点P作D1M的平行线交BC于点Q、交B1C1于点E，连接MQ，则PN是平面D1PM与平面BCC1B1的交线，MN是平面D1PM与平面ABCD的交线EF与BB1平行，交BC于点F，过点F作FG垂直MQ于点G，则有，MQ与平面EFG垂直，所以，EG与MQ垂直，即角EGF是平面D1PM与平面ABCD的夹角的平面角，且sinEGF=EFEG，MN与CD平行交BC于点N，过点N作NH垂直EQ于点H，同
10、上有：sinMHN=MNMH，且有EGF=MHN，又因为EF=MN=AB，故EG=MH，而2SEMQ=EGMQ=MHEQ，故MQ=EQ，而四边形EQMD1一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E一定是B1C1的中点，点P到点C1的最短距离是点C1到直线BE的距离，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，E(2,1，2)，B(2,0，0)，C1(2,2，2)，BE=(0,1，2)，BC1=(0,2，2)，点P到点C1的最短距离：d=|BC1|1(|BEBC1|BE|BC1|)2=221(658)2=255故选：A8. 底面为正方形的四棱锥SABCD，且SD平面ABCD
11、，SD=22，AB=2，线段SB上一M点满足SMMB=2，N为线段CD的中点，P为四棱锥SABCD表面上一点，且DMPN，则点P形成的轨迹的长度为A. 2B. 2+3C. 22+3D. 2+23【答案】D【解析】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DS为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B2,2,0，S0,0,22，N0,1,0，D0,0,0，M43,43,223，取AD的中点E，则E1,0,0，DM=43,43,223，EN=1,1,0，DMEN=0，即DMEN，在SD上取一点F，设F0,0,a，则EF=1,0,a，设DMEF，则DMEF=0，即43+22a3=0，计算得出a=2，又DM平
12、面EFN，P点轨迹为EFN，EF=FN=a2+1=3，EN=12AC=2，EFN的周长为2+23，故选D9. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3，|AA1|=1，P是对角线A1B上一点，则|AP|+|D1P|的最小值是A. 2B. 3C. 1+3D. 7【答案】D【解析】解：把面AA1B绕A1B旋转至AA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1，MD1就是|AP|+|D1P|的最小值，|AB|=|AD|=3，|AA1|=1，AA1B=600，MA1D1=150，故选D10. 如图，三棱锥VABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不
13、含端点)，记直线PB与直线AC所成角为，二面角PACB的平面角为，则+不可能是A. 34B. 23C. 2D. 3【答案】D【解析】解：如图，由题意，三棱锥VABC为正三棱锥，过P作PE/AC，则BPE为直线PB与直线AC所成角为，当P无限靠近A时，PBE无限接近3，但小于3，则BPE=BEP=3当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，无限趋于2但小于2；二面角PACB的平面角为，即VACB的平面角为，由三棱锥存在，得0，随着棱长无限增大，无限趋于2+(3,)则+不可能是3故选：D二、填空题11. 己知三棱锥SABC满足SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为3，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为_【答案】433【解析】解：三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC=2，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，正方体的体对角线长为23，球心到平面ABC的距离为12233=33，点Q到平面ABC的距离的最大值为3+33=433故答案为43312. 将B=3，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角，若3,23，M,N分别为的中点，则下面的四
