2021年中考数学压轴题考点训练：二次函数的综合性问题

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1、【典例分析】 【考考点点 1 1】二二次次函函数数与与经经济济利利润润问问题题 【例例 1 1】 （2 20 01 19 9山山东东中中考考真真题题）扶扶贫贫工工作作小小组组对对果果农农进进行行精精准准扶扶贫贫，帮帮助助果果农农将将一一种种有有机机生生 态态水水果果拓拓宽宽了了市市场场与与去去年年相相比比，今今年年这这种种水水果果的的产产量量增增加加了了 1 10 00 00 0 千千克克，每每千千克克的的平平均均批批发发 价价比比去去年年降降低低了了 1 1 元元，批批发发销销售售总总额额比比去去年年增增加加了了20% （1 1）已已知知去去年年这这种种水水果果批批发发销销售售总总额额为为

2、1 10 0 万万元元，求求这这种种水水果果今今年年每每千千克克的的平平均均批批发发价价是是多多 少少元元？ （2 2）某某水水果果店店从从果果农农处处直直接接批批发发，专专营营这这种种水水果果调调查查发发现现，若若每每千千克克的的平平均均销销售售价价为为 4 41 1 元元，则则每每天天可可售售出出 3 30 00 0 千千克克；若若每每千千克克的的平平均均销销售售价价每每降降低低 3 3 元元，每每天天可可多多卖卖出出 1 18 80 0 千千克克， 设设水水果果店店一一天天的的利利润润为为w元元，当当每每千千克克的的平平均均销销售售价价为为多多少少元元时时，该该水水果果店店一一天天的的利

3、利润润最最大大， 最最大大利利润润是是多多少少？（利利润润计计算算时时，其其它它费费用用忽忽略略不不计计 ） 【答答案案】 （1）这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元； （2）每千克的平均销售价为 35 元 时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元. 【解解析析】 【分析】 (1)由去年这种水果批发销售总额为 10 万元，可得今年的批发销售总额为10 1 20%12万 元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为1x元，可列出方程： 120000100000 1000 1xx ，求得x即可. (2)根据总利润(售价成本)数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求

4、最大值 【详解】 (1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为1x元， 今年的批发销售总额为10 1 20%12万元， 120000100000 1000 1xx ， 整理得 2 191200 xx ， 解得24x 或5x (不合题意，舍去). 故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元 (2)设每千克的平均售价为m元，依题意 由(1)知平均批发价为 24 元，则有 41 24180300 3 m wm 2 60420066240mm ， 整理得 2 60357260wm ， 600a ， 抛物线开口向下， 当35m 元时，w取最大值， 即每千克的平均销售价为 35

5、 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用 最大销售利润的问题常利函数的增减性来解 答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润销售件 数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 【变式【变式 1-11-1】 （20192019浙江中考真题）某农作物的生长率浙江中考真题）某农作物的生长率 P P 与温度与温度 t( t() )有如下关系：如图有如下关系：如图 1 1， 当当 1010t t2525 时可近似用函数时可近似用函数 11 505 Pt刻画；当刻画；当 2525t t

6、3737 时可近似用函数时可近似用函数 2 1 ()0.4 160 Pth 刻画刻画 (1)(1)求求 h h 的值的值 (2)(2)按照经验，该作物提前上市的天数按照经验，该作物提前上市的天数 m(m(天天) )与生长率与生长率 P P 满足函数关系：满足函数关系： 生长率生长率 P P0.20.20.250.250.30.30.350.35 提前上市的天数提前上市的天数 mm （天）（天）0 05 510101515 请运用已学的知识，求请运用已学的知识，求 mm 关于关于 P P 的函数表达式；的函数表达式； 请用含请用含t的代数式表示的代数式表示 mm ； (3)(3)天气寒冷，大棚加

7、温可改变农作物生长速度在天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度在(2)(2)的条件下，原计划大棚恒温的条件下，原计划大棚恒温 2020时，时， 每天的成本为每天的成本为 200200 元，该作物元，该作物 3030 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出( (一次售一次售 完完) )，销售额可增加，销售额可增加 600600 元因此给大棚继续加温，加温后每天成本元因此给大棚继续加温，加温后每天成本 ww ( (元元) )与大棚温度与大棚温度 t( t() ) 之间的关系如图之间的关系如图 2 2问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润

8、问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售农作物上市售 出后大棚暂停使用出后大棚暂停使用） 【答案【答案】 （1）29h ； （2）10020mp， 2 (0 5 8 29)2mt ； （3）当29t 时，提前 上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据 11 505 Pt求出 t=25 时 P 的值，代入 2 1 ()0.4 160 Pth 即可； （2）由表格可知 m 与 p 的一次函数，用待定系数法求解即可；分当1025t时与当 25 1 37时两种情况求解即可； （3）分当2025t时与当2537t 时两种情况求出

9、增加的利润，然后比较即可. 【详解】 （1）把 t=25 代入 11 505 Pt，得 P=0.3， 把（25，0.3）的坐标代入 2 1 16 ). 0 (0 4pth 得29h 或21h 25h ，29h. （2）由表格可知 m 与 p 的一次函数，设 m=kp+b，由题意得 0.20 0.255 kb kb ， 解之得 100 20 k b ， 10020mp； 当1025t时， 11 505 pt， 11 10020240 505 mtt 当25 1 37时， 2 1 (29)0.4 160 pt . 22 100(29)0.4 20 15 160 (29)2 8 0mtt ； （3）

10、 （）当2025t时， 由(20,200)，(25,300)，得20200wt. 增加利润为 2 600200 30(30)406004000mwmtt. 当25t 时，增加利润的最大值为 6000 元. （）当2537t 时，300w . 增加利润为 2 5 600200 30(30)=900(29)15000 8 mwmt 2 1125 (29)15000 2 t ， 当29t 时，增加利润的最大值为 15000 元. 综上所述，当29t 时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的应用，用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征，待定

11、系 数法求一次函数解析式， 二次函数的图像与性质， 利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想. 熟练掌握二次函数图上点的坐标特征是解（1）的关键，分类讨论是解（2）与（3）的关键. 【变式【变式 1-21-2】 （20192019辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式某乡镇农贸公司新开辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式某乡镇农贸公司新开 设了一家网店设了一家网店， 销售当地农产品销售当地农产品 其中一种当地特产在网上试销售其中一种当地特产在网上试销售， 其成本为每千克其成本为每千克 1010 元元 公公 司在试销售期间司在试销售期间，调查发现调查发现，每天销售量每天销售量y y（kg

12、kg）与销售单价与销售单价x x（元元）满足如图所示的函数关满足如图所示的函数关 系（其中系（其中030 x） （1 1）直接写出）直接写出y y与与x x之间的函数关系式及自变量的取值范围之间的函数关系式及自变量的取值范围 （2 2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到 31003100 元，则销售单价元，则销售单价x x应定为多少元？应定为多少元？ （3 3）设每天销售该特产的利润为）设每天销售该特产的利润为WW元，若元，若1430 x，求：销售单价，求：销售单价x x为多少元时，每天的为多少元时，每天的 销售利润最大？最大利润是多少元？销售利润最大？

13、最大利润是多少元？ 【答案【答案】 （1） 640(1014) 20920(1430) x y xx ； （2）销售单价x应定为 15 元； （3）当28x 时， 每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元 【解析】【解析】 【分析】 （1）当1014x时，可直接根据图象写出；当1430 x时，y与x成一次函数关系，用待定 系数法求解即可； （2）根据销售利润=每千克的利润（x10）销售量y，列出方程，解方程即得结果； （3）根据销售利润w=每千克的利润（x10）销售量y，可得w与x的二次函数，再根据 二次函数求最值的方法即可求出结果. 【详解】 解： （1）由图象知，当1014x时，640

14、y ； 当1430 x时，设y kxb ，将(14,640)，(30,320)代入得 14640 30320 kb kb ，解得 20 920 k b ， y与x之间的函数关系式为20920yx ； 综上所述， 640(1014) 20920(1430) x y xx ； （2）(1410)6402560， 25603100，14x ， (10)( 20920)3100 xx， 解得： 1 41x （不合题意舍去） ， 2 15x ， 答：销售单价x应定为 15 元； （3）当1430 x时， 2 (10)( 20920)20(28)6480Wxxx ， 200，1430 x， 当28x 时，

15、每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、 熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键. 【考点【考点 2 2】二次函数与几何图形问题】二次函数与几何图形问题 【例【例 2 2】 （20182018福建中考真题福建中考真题）空地上有一段长为空地上有一段长为 a a 米的旧墙米的旧墙 MNMN，某人利用旧墙和木栏围某人利用旧墙和木栏围 成一个矩形菜园成一个矩形菜园 ABCDABCD，已知木栏总长为，已知木栏总长为 100100 米米 （1 1）已知）已知 a=20a=20，矩形菜园

16、的一边靠墙，另三边一共用了，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100100 米木栏，且围成的矩形菜园面米木栏，且围成的矩形菜园面 积为积为 450450 平方米如图平方米如图 1 1，求所利用旧墙，求所利用旧墙 ADAD 的长；的长； （2 2）已知）已知 0 0 5050，且空地足够大，如图，且空地足够大，如图 2 2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案， 使得所围成的矩形菜园使得所围成的矩形菜园 ABCDABCD 的面积最大，并求面积的最大值的面积最大，并求面积的最大值 【答案【答案】 （1）利用旧墙 AD 的长为 10 米 （2）见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程； （2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数 量关系 【详解】 （1）设 AD=x 米，则 AB= 100 2 x- 米 依题意得， (100) 2 xx 450 解得 x1=10，x2=90 a=20，且 xa x=90 舍去 利用旧墙 AD 的长为 10 米 （2）设 AD=