2021年中考数学压轴题考点训练：二次函数的面积问题

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1、【考考点点 1 1】二二次次函函数数的的线线段段最最值值问问题题 【例例 1 1】如如图图，抛抛物物线线y ya ax x2 2+ +b bx x+ +c c经经过过A A（1 1，0 0） 、B B（4 4，0 0） 、CC（0 0，3 3）三三点点，D D为为直直 线线B BCC上上方方抛抛物物线线上上一一动动点点，D DE EB BCC于于点点E E （1 1）求求抛抛物物线线的的函函数数表表达达式式； （2 2）求求线线段段D DE E长长度度的的最最大大值值 【答答案案】 （1）y 3 4 x2+ 9 4 x+3； （2）最大值是 12 5 【解解析析】 【分析】 （1）根据待定系数

2、法，可得函数解析式； （2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据 相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案 【详解】 解： （1）由题意得， 0 1640 3 abc abc c ， 解得， 3 4 9 4 3 a b c ， 抛物线的函数表达式为 y 3 4 x2+ 9 4 x+3； （2）过点 D 作 DMx 轴交 BC 于 M 点， 由勾股定理得，BC 22 OCOB 5， 设直线 BC 的解析是为 ykx+b， 则 40 3 kb b ， 解得 3 4 3 k b ， 直线 BC 的解析是为 y 3 4 x+3

3、， 设点 M 的坐标为（a， 3 4 a+3） ， DM（ 3 4 a2+ 9 4 a+3）（ 3 4 a+3） 3 4 a2+3a， DMEOCB，DEMBOC， DEMBOC， DEBO DMBC ，即 DE DM 4 5 ， 解得，DE 4 5 DM DE 3 5 a2+ 12 5 a 3 5 （a2）2+ 12 5 ， 当 a2 时，DE 取最大值，最大值是 12 5 【点睛】 本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次 函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键 【变式【变式 1-11-1】 已知抛物线已知抛物线y y= =mxmx2 2

4、+2+2mxmx+ +mm-1-1 和直线和直线y y= =mxmx+ +mm-1-1，且，且mm0 0 （1 1）求抛物线的顶点坐标；）求抛物线的顶点坐标； （2 2）试说明抛物线与直线有两个交点；）试说明抛物线与直线有两个交点； （3 3）已知点）已知点T T（t t，0 0） ，且，且-1-1t t1 1，过点，过点T T作作x x轴的垂线，与抛物线交于点轴的垂线，与抛物线交于点P P，与直线交于，与直线交于 点点QQ，当，当 0 0mm3 3 时，求线段时，求线段PQPQ长的最大值长的最大值 【答案【答案】 （1） （-1，-1） ； （2）见解析； （3）PQ的最大值为 6. 【解析

5、】【解析】 【分析】 （1）化为顶点式即可求顶点坐标; （2） 由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得： mx2+2mx+m-1=mx+m-1， 整理得， mx （x+1） =0，即可知抛物线与直线有两个交点; （3） 由 （2） 可得： 抛物线与直线交于 （-1， -1） 和 （0， m-1） 两点， 点 P 的坐标为 （t， mt2+2mt+m-1） ， 点 Q 的坐标为（t，mt+m-1） 故分两种情况进行讨论：如图 1，当-1t0 时；如图 2， 当 0t1 时，求出对应的最大值即可 【详解】 解： （1）y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1， 抛物线的顶

6、点坐标为（-1，-1） （2）由y=mx2+2mx+m-1 和y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1， mx2+mx=0，mx（x+1）=0， m0， x1=0，x2=-1 抛物线与直线有两个交点 （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点， 点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1） ，点Q的坐标为（t，mt+m-1） 如图 1，当-1t0 时，PQ= 2 QP yymtmt = 2 11 () 24 m tm m0， 当 1 2 t 时，PQ有最大值，且最大值为 1 4 m 0m3， 1 4 m 3 4 ，即PQ的最大值为 3 4 如图 2

7、，当 0t1 时，PQ= 2 PQ yymtmt= 2 11 () 24 m tm m0， 当t=1 时，PQ有最大值，且最大值为 2m 0m3， 02m6，即PQ的最大值为 6 综上所述，PQ的最大值为 6 【点睛】 此题主要考查二次函数的应用， （1） （2）题相对简单， （3）题要分情况进行讨论方右解答， 因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答 【变式【变式 1-21-2】如图如图 1 1，已知抛物线，已知抛物线 y=y=x x2 2+mx+m+mx+m2 2 的顶点为的顶点为 A A，且经过点，且经过点 B B（3 3，3 3） （1 1）求顶点）求顶点 A

8、 A 的坐标的坐标 （2 2）若若 P P 是抛物线上且位于直线是抛物线上且位于直线 OBOB 上方的一个动点上方的一个动点，求求OPBOPB 的面积的最大值及比时点的面积的最大值及比时点 P P 的坐标；的坐标； （3 3）如图）如图 2 2，将原抛物线沿射线，将原抛物线沿射线 OAOA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OAOA 交交 于于 CC，D D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段 CDCD 的长度是否为定值？若是，请求出的长度是否为定值？若是，请求出 这个定值；若不是，请说明理由这个定值

9、；若不是，请说明理由 【答案【答案】 （1） （1，1） ； （2）P（ ， ） ； （3）. 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点Q的坐标，根 据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐 标，根据勾股定理，可得答案 【详解】 解： （1）把 B（3，3）代入 y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2， 解得 m=2， y=x2+2x=（x+1）2+1，

10、 顶点 A 的坐标是（1，1） ； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q. 直线 OB 的解析式为 y=x， 故设 P（n，n2+2n） ，Q（n，n） ， PQ=n2+2n（n）=n2+3n， SOPB=（n2+3n）=（n）+， 当 n=时，SOPB的最大值为 此时 y=n2+2n=， P（，） ； （3）直线 OA 的解析式为 y=x， 可设新的抛物线解析式为 y=（xa）2+a， 联立， （xa）2+a=x， x1=a，x2=a1， 即 C、D 两点间的横坐标的差为 1， CD= 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理

11、二 次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 【考点【考点 2 2】二次函数的面积定值问题】二次函数的面积定值问题 【例【例 2 2】已知二次函数已知二次函数 2 248yxmxm （1 1）图象经过点）图象经过点1,1（ ）时，则时，则m_； （2 2）当）当2x 时，函数值时，函数值y y随随x x的增大而减小，求的增大而减小，求mm的取值范围；的取值范围； （3 3） 以抛物线以抛物线 2 248yxmxm的顶点的顶点A A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（MM， N N两点在抛物线上两点在抛物线上） ，请问：，请问：AMN的面积是与的

12、面积是与mm无关的定值吗？若是，请求出这个定值；无关的定值吗？若是，请求出这个定值； 若不是，请说明理由若不是，请说明理由 【答案【答案】 （1）4； （2）m2； （3）AMN的面积是与m无关的定值，SAMN3 3. 【解析】【解析】 【分析】 （1）将点1,1（ ）代入二次函数解析式即可求出 m； （2）求出二次函数的对称轴为 xm，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边 y 随 x 的增大 而减小，可求出 m 的取值范围； （3） 在抛物线内作出正三角形， 求出正三角形的边长， 然后计算三角形的面积， 可得到AMN 的面积是与 m 无关的定值 【详解】 解： （1）将点1,1（ ）代入 2

13、248yxmxm可得：1 1 248mm ， 解得：m=4； （2）二次函数 2 248yxmxm的对称轴是：xm， 当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小， m2； （3）AMN的面积是与m无关的定值； 如图：顶点 A 的坐标为（m，m24m8） ，AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称 轴于点 B， tanAMBtan603 AB BM =， AB3BM3BN， 设 BMBNa，则 AB3a， 点 M 的坐标为（ma，3am24m8） ， 点 M 在抛物线上， 3am24m8（ma）22m（ma）4m8， 整理得： 2 30aa-=， 解得：a3或 a0（舍去） ， AMN

14、是边长为2 3的正三角形， AB=3，SAMN 1 2 3 33 3 2 ，与 m 无关. 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函 数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点 M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键 【变式【变式 2-12-1】如图如图，已知抛物线交已知抛物线交 x x 轴于轴于 A A、B B 两点两点，交交 y y 轴于轴于 CC 点点，A A 点坐标为点坐标为（1 1，0 0） ， OC=2OC=2，OB=3OB=3，点，点 D D 为抛物线的顶点为抛物线的顶点 （1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （

15、2 2）P P 为坐标平面内一点，以为坐标平面内一点，以 B B、CC、D D、P P 为顶点的四边形是平行四边形，求为顶点的四边形是平行四边形，求 P P 点坐标；点坐标； （3 3）若抛物线上有且仅有三个点若抛物线上有且仅有三个点 MM1 1、MM2 2、MM3 3使得使得MM1 1BCBC、MM2 2BCBC、MM3 3BCBC 的面积均为的面积均为 定值定值 S S，求出定值，求出定值 S S 及及 MM1 1、MM2 2、MM3 3这三个点的坐标这三个点的坐标 【答案【答案】 （1）y= 2 3 x2+ 4 3 x+2；(2)见解析； （3）见解析. 【解析】【解析】 【详解】 分析

16、： （1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出 抛物线解析式即可； （2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边 形 BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出 P 坐标即可； （3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时 交点坐标，确定出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相 等的直线解析式，确定出所求 M 坐标，且求出定值 S 的值即可 详解： （1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0） ，C（0，2） ， 设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x3） ， 把 C（0，2）代入得：2=3a，即 a= 2 3 ， 则抛物线解析式为 y= 2 3 （x+1） （x3）= 2 3 x2+ 4 3 x+2； （2）抛物线 y= 2 3 （x+1） （x3）= 2 3 x2+ 4 3 x+2= 2 3 （x1）2+ 8 3 ， D（1， 8 3 ） ， 当四边形 CBPD 是平行四边形时，