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1、第二节 空间几何体的表面积与体积,基础梳理,1. 直棱柱、正棱锥、正棱台的概念、侧面展开图及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的 .,平面展开图,直棱柱,直棱柱,ch,正棱锥,正棱台,2. 旋转体的表面积公式 (1)圆柱的表面积S= (其中r为底面半径,l为母线长). (2)圆锥的表面积S= (其中r为底面半径,l为母线长). (3)圆台的表面积公式S= (其中r,r为上、下底面半径,l为母线长). (4)球的表面积公式S= (其中R为球半径).,3. 几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式V= (其中S为底面面积,h为高). (2)锥体
2、的体积公式V= (其中S为底面面积,h为高). (3)台体的体积公式V= (其中S,S为上、下底面面积,h为高). (4)球的体积公式V= (其中R为球半径).,2r(r+l),r(r+l),(r+r)l+(r2+r2),4R2,Sh,典例分析,【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.,题型一 几何体的表面积问题,分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件，列出方程，求解所需的几何元素.,解 如图所示,正三棱台ABC-A1B1C1中,O、O1分别为两底面中心,D、D1
3、分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高. 设A1B1=20,AB=30,则可得 OD= ,O1D1= .,由S侧=S上+S下,得 (20+30)3DD1= (202+302), DD1= . 在直角梯形O1ODD1中,O1O= , 棱台的高为 cm.,学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.,举一反三 1. 圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和.,解析： 如图
4、,延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,则ASO=30. 在RtSAO中, ,SA=2r. 在RtSAO中, ,SA=4r. SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a. 圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为,【例2】 直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为Q1、Q2,求它的侧面积.,分析 要求此棱柱的侧面积,只要求出它的底面边长与高即可.,学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少
5、运算量，简化运算过程.,举一反三 2. 三棱柱 的底面是等腰三角形(AB=AC),BAC=2,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2角,求三棱柱的侧面积.,解析： 如图所示,作ODAB于D,则AD=Rcos ,AB=2Rcos , AB, AOBC,由三垂线定理得 BC, 故 BC. 又BC=2Rsin 2, ,【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm， 8 cm，各侧棱长均为8 cm，求它的侧面积和体积.,题型二 几何体的体积问题,分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公
6、式求解.,解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P, 则PBC为等腰三角形.取BC中点E,连接PE交 B1C1于点E1,则PEBC,E1E为侧面等腰梯形的高. 作PO底面ABCD交上底面于点O1,连接O1E1、OE. 在PB1C1和PBC中, ,PB1=B1B=8,B1为PB的中点,E1为PE的中点. 在RtPEB中, PE= (cm), E1E= (cm). 在RtPOE中,PO= OO1= PO= (cm). S四棱台侧=4S梯形BCC1B1= , V四棱台=V四棱锥PABCD - V四棱锥PA1B1C1D1 = S四边形ABCDPO - S四边形A1B1C1D1PO1 = 82414- 4
7、2214 = (cm3).,学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的桥梁. （2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.,举一反三 3. 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,四边形ABFE为等腰梯形,且ADE、BCF均为正三角形,EF=2,则该多
8、面体的体积为.,答案：,解析： 如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H, 连接DG、CH.易求得EG=HF= , AG=GD=BH=HC= . 可得 ,题型三 组合体的体积和表面积问题 【例4】(14分)如图，正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切.求棱锥的表面积和球的半径.,分析 先画截面图再求解.,解 过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE.2 因为ABC是正三角形，易知AE既是ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线.作为正三棱锥的高PD既通过球心O,且D也是ABC的重心4,据此根据底面边长为 ，即可算出 ,.6 ,.8 又F为
9、球与平面PBC的切点, OFPE.设OF=r,10 由POFPED,知 , .12 .14,学后反思 （1）球与多面体、旋转体的相接、相切问题简称为组合体问题，这类问题能够很好地考查学生对空间图形的识图、辨别能力，更能考查学生的空间想象能力，所以在高考中一直是热点题型.复习中要注意总结规律，掌握常见问题的求解方法. (2)相切或相接问题一般通过作出截面，使构成组合体的各个简单体中的主要元素尽可能集中在该截面中，从而转化成平面图形的计算加以解决.旋转体之间的相接、相切问题，通常作出它们的共轴的截面;旋转体与多面体之间的相接、相切问题，一般作出它们接、切的某个公共点与轴所确定的截面.,举一反三 4
10、. 将一个棱长为6 cm的正方体加工成一个体积最大的木球，这个球的体积为 .,答案: 36,解析： 易知正方体的内切球体积最大，设其内切球的半径为R，则根据题意知2R=6，即R=3,故其内切球的体积,考点演练,10. （2010苏州质检）半径为R的半圆卷成一个圆锥，求它的体积.,解析: 设所求圆锥底面半径为r，高为h，则R=2r, , 故所求圆锥的体积为,11. 一个正三棱锥的高和底面边长都为a，求它的侧面积和体积.,解析： 如图，过S作SO平面ABC，垂足为O，过S作SDAB交AB于D，连接OD，则SO=a，ODAB，且O是ABC的中心. 又AB=BC=AC=a,OD= , ,12. 在一个平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别为a,b,c,这三条棱中，每两条所成的角为60，求这个平行六面体的体积.,解析: 如图所示，作 平面ABCD， 在底面上的射影O落在BAD的角平分线上. 因此有 即 , 不妨设 A=a,AB=b,AD=c, ,
