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1、极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数 y = f(x) 在区间（ a,b）上只有一个极大（小）值点? 0,方程 f( x) = 0(f(x)=m)的解 分别为 ? 1,?2且a ?1 ? 0?2 ? 0,则称函数 f(x)在区间（ a,b）上极值点 ? 0左偏移； （2） ? 1+?2 2 ?0,则称函数 f(x)在区间（ a,b）上极值点 ? 0右偏移； 二：极值点偏移的判定定理 对于可导函数 y = f(x) 在区间（a,b）上只有一个极大 （小）值点 ? 0,方程 f(x) = 0（f( x) = m) 的 解分别为 ? 1,
2、?2且a ?1?2b. （1）若f(? 1) ?(2?0-?2)则 ? 1+?2 2 ?0即函数 f(x)在区间（ a,b）上极大值点 ?0右偏； （即 峰偏右） （2）若f(? 1) ? 0即函数 f(x)在区间上（ a,b）极小值点 ? 0左偏 ;（即 谷偏左） （3）若f(? 1) ?(2?0 -? 2)则 ? 1+?2 2 ? 0即函数 f(x)在区间上（ a,b）极大值点 ? 0左偏 ;（即 峰偏左） （4）若f(? 1) ?(2?0- ? 2)则 ?1+?2 2 ? 0即函数 f(x)在区间上（ a,b）极小值点 ? 0右偏 ;（即 谷偏右） x= ? 1+?2 2 x= ? 1+
3、?2 2 y=m x y=f(x)x=?0 x=?0 拓展： 1） 若)()(xbfxaf， 则)(xf的 图 象 关 于 直 线 2 ba x对 称 ； 特 别 地 ， 若 )()(xafxaf（或 f(x)=f(2a-x)） ，则)(xf的图象关于直线 ax对称 2） 若函数 f(x)满足 ?x (0, a)有下列之一成立： f(x)在(0, a)递增，在 (a,2a)递减 ,且 f(a-x)）f(a+x)(f(x)f(2a-x) f(x)在(0,a)递减 ,在(a,2a)递增 ,且 f(a-x)()f(2a-x) 则函数 f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移 (偏对称 )(俗
4、称峰谷偏函数)其中极大值左 偏（或右偏）也称峰偏左（或右）极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(xf的图象关于直线ax对称若 ?1,?2(0,2?)?1 ?2则 ? 1+ ?2 = 2? f(? 1) = ?(? 2),( ? ( ? 1) + ? (? 2)=0,? ( ? 1+?2 2 ) = 0); 2) 已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若? 1,?2 (0,2?)? 1 ? 2则 f(?1) = ?(?2) 则 ?1+ ?2 2a,及? ( ? 1+?2 2 ) 0 极值点偏移解题步骤： 求函数f(x)的极值点 ? 0； 构 造 函 数F(x)=f(x+
5、? 0)-f( ?0- ?) (F(x)=f( ?0- ?)-f( ?0+ ?), F(x)=f(x+ 2?0)-f( -?), F(x)=f(x)-f(2? 0- ?) )确定 F(x)单调性 结合 F(0)=0（F(-? 0)=0,F(?0) = 0) 判断 F(x)符号从而确定 f(x+? 0),f(?0- ?) ( f(x+2? 0)与 f(-?); f(x)与 f(2? 0- ?) ）的大小关系 ; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 f( ? 1) = ?(?2),?0为函数 y=f(x)的极值点 ,求证： ?1 + ? 2 F(0)=0，从而得到x0 时 f(x+? 0)f(?
6、0- ?) 1. （2016 年全国 I 高考）已知函数有两个零点 . 设 x1，x2是 的两个零点，证明：+x21 时， f(x)g(x) ( ) 如果 12, xx且 12 ()(),f xfx证明 12 2xx 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x e 令 F(x)=f(x)-g(x),即 2 ( )(2) xx F xxexe 于是 22 ( )(1)(1) xx Fxxee 当 x1 时，2x-20, 从而 2x-2 e10,0,F x e又所以(x)0, 从而函数F （ x）在1,+ ) 是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0，所以 x1时，
7、有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). ) 证明：（1） 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx 12 由（ ）及 f(xf(x则与矛盾。 （2）若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx 12 由（ ）及 f(xf(x得与矛盾。 根据（ 1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 由（）可知，) 2 f(x) 2 g(x, 则) 2 g(x=) 2 f(2-x，所以) 2 f(x) 2 f(2-x, 从而) 1 f(x ) 2 f(2-x . 因为 2 1x ，所以 2 21x ，又由（）可知函数f(x) 在区间（ - ， 1）内事增
8、函数，所以 1 x 2 2x, 即 12 xx2. 3. 已知函数 （I）讨论的单调性； （II ）设，证明：当时，； （III ） 若函数的图像与x 轴交于 A， B 两点， 线段 AB 中点的横坐标为x0，证明： xaaxxxf)2(ln)( 2 )(xf 0a a x 1 0) 1 () 1 (x a fx a f )(xfyf （x0） 0 解： （I） （i）若单调增加 . （ii ）若且当 所以单调增加，在单调减少 . （II ）设函数则 当. 故当，8 分 （III ）由（ I）可得，当的图像与x 轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为 不妨设 由 （II） 得从而 由（ I）知
9、， 4已知函数f(x) = xlnx - 1 2 ? 2 -?(mR) 若 f(x) 有两个极值点?1,?2且?1 ? 2 5. 已知函数 f(x) =? ?- ? (aR)若 f(x) 有两个不同零点? 1,?2且?1 2 ? 1 + ? 2 2? ? 1?2 1 （已知函数 f( x) =? ?- ? + ? (aR) ，其图象与轴交于 A( ? 1,0)B( ?2,0)两点且 ?1 ? 2，求 证： ? (? 1 ? 2) 1)若 f(x) 有两个不同零点? 1,?2且 ?1 ?2 求证： ? 1 + ? 2 0 7. 已知函数 f(x) =a- 1 ?- ? (aR)若f(x) 有两个
10、不同零点?1,?2且 ?1 ?2求证： 2 ?1+ ? 2 3? ?-1 -1 8. 已知函数 f(x) =xlnxf(? 1) = f( ?2)且0 ?1 ? 2 1求证 : 2 ? ? 1 + ? 2 1 1 ? 1+?2 2 ? 9已知函数 f(x) =ln x -?(aR)若 f(x)有两个不同零点?1,?2且?1 ? 2 10. 已知函数 f( x) =x - ? ? (? 0) f(? 1) = f(?2) = 0 且?1 ? 2求证 : ? 1 ? 2 ? 11. 已知函数 f(x)=?- ? - ? (a,b R)若 f(x) 有两个不同零点? 1,?2且?1 ?2求证： ?1
11、? ? 2 0 13. 已知函数 f( x) =alnx-? 2(aR) 令 g(x) = f(x) + ax,g(x)在(0,3)单调递增求a 范围 ; 当 a=2 时,函数 h(x)=f(x)-mx 的图象与轴交于A(? 1,0)B(?2,0) 且0 ?1 0, 0 且 满足 + = 1证明 :? (? 1+ ?2) 1 时讨论 f(x) 的单调性，并确定其极值; 若对 ?x ?, ? 2 都有 f(x) 4lnx, 求 k 范围 ; 若 ? 1 ?2且 f(?1) = f( ?2)证明： ?1?2 0) 讨论 f(x)的单调性 ; f(x) 的极值点为 ? 若存在 ? 1,?2 (0,
12、+)且? 1 ? 2求证 : ?1+ ?2 2? ; 16. 已知函数 f( x) = ? 2 - 1 + ?( 1 - ? ), (aR); 讨论 f(x)的单调性 ; 若 f(x) 存在两个极值点? 1,?2， ?1 ?(? 2) ? 1 ; 17. 已知函数 f( x) = x + alnx 与 g(x)=3 - ? ? 在(1,1)处有相同切线； 若 y=2(x+n) 与 y=f(x) 图象有两个交点,求 n 范围； 若 F( x) = 3 (x - ? 2 ) + ? 2 ? (? ) -2? ( ? ) 有两个极值点? 1,?2， ?1 ? 2证明： F(?2) ?2- 1； 18
13、. 已知函数 g(x) = -a? 2 + (2 - ?)? + ?, (aR) 讨论 f(x)的单调性 ; 若 f(x)=g(x)+(a+1) ? 2 - 2? 有两个不同零点? 1,?2, 证明： ? ( ? 1+?2 2 ) 0; 19. 已知函数 g( x) = x ? (2-?) ? , (aR); 讨论 g(x)的单调性 ; 若 f(x)=lng(x) -a? 2 与 y=m,(m R)图象有两个交点A、 B,线段 A、 B中点为 ? ，证明： ? (? ) 0; 20. 已知函数 f( x) = a? 3 2 -?- 2 3图象的一条切线为 x 轴； 求 a 值； 令 g(x)=
14、|? ( ? ) + ? (?)|若存在不同 ? 1,?2满足 g(?1) = g(?2),证明 : ?1?2 1 21. 已知函数F(x)与 f(x)=lnx 关于直线y=x 对称； 若 xf(x) ax -1对?x (0, +)恒成立 ,求 a 最大值； 设f(x) ?F( x) = 1在 (1,+ )的实根为 ? ，m( x) = ?(? ) (1? ) 若在区间 (1,+)上存在 m( ? 1) = m(?2),求证： ? 1+?2 2 ? 22已知函数 f(x) = ? ?- 1 2 ? 2 -?, (aR)； 若函数f(x) 的图象在x=0 处的切线方程为y=2x+b, 求 a,b
15、 的值 若函数f(x)在 R 上单调递增，求实数a的取值范围； 如果函数g(x)=f(x)-(a- 1 2)? 2 恰有两个不同的极值点? 1,?2,证明 : ? 1+?2 2 ln2a; 23已知函数 f(x) = ? 2 -(a-2)x-alnx (aR)； 讨论 f(x)的单调性 ; 设函数 g( x) = -? 3 -? 2 + ?- ? 2 4 若?, (0, a】使得 |? (? ) -?(?) | 0 24. 已知函数 f( x) = ? ?+1 + ? (?,? 为常数 ) ，在 x = 1 处的切线方程为x + y -2 = 0 若 ?x 1 ? ,1使得对 ?t 1 2 ,2 上 f(x) ? 3 - ? 2 - 2? + 2恒成立求实数a 的取值范围； 若 g(x)=f(x) -ax- 2 ?+1 (a R) 有两个不同零点 ? 1,?2,求证： ?1?2 ? 2; 25已知函数 f(x) = -?2- ? + 2?; 当 a 3时讨论 y=f(x) 在 1 2 ,+）上的单调性； y=f(x) 有两个不同零点? 1,?2,且?1 ? 2求证： ? ( ? 1+2?2 3 ) 0
