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1、育如坂讪雅力击坂坂赫征值与特征向蚤定义_设4为R阶方阵,若存在常数丿与维非零向量X使AX=2友成立,则称丿为方阵4的特征值,非零向量又为4的对应于丿的特征向量。由A4X=1X一(4-418)X=0此方程有非零解的充要争件是-48I=0,即:u一兄20s吊一芸,仁仁23_兄一一特征多项式方程。“-胺如坂训雅力击坂坂又Juu毛团河字沽之一:求解胺征怪痴在线性代数中掉如下三步计算:1、计算出4的特征多项式|4-2B|:;2、求出特征方程|4-25|0的全部根力3、将代入(4-AiE)X=0求出基础解系,即得4的对应于2的特征向量,而基础解系的线性组合即为4的对应于尹的全部特征向量。例汇矩阵A=_31
2、重的特征值与特征向量如佳训雅一达巫坂解1十算特征多项式万程，|4-28|=_l杨兄n0解得A的两个特征值:口=4,士=2。(1)z=4将丶=4代入(4-18)X=0得(4-4E)JX-03=4-圭|1与又=0“之=0l3儿怡人,=0蜀文十藁z一不二一河加十X二目攫菖倩训集出逊娆壑取对应于l=4的基础解向量君=l则对应于小=4的全部特征向量为:B(K子0)(2)=2将乙=2代入(4-4E)X=0得(4-2E5)X-03-2-1|二T一咤巳山“不=073一人目园人,龙一X3沥子=x_=藁z一Xx二伟取对应于儿=2的基础解向量万=重皂半天手五口口口口一口如佳训雅一达巫坂则对应于彻_z的全部特征向量为
3、础(kx4)时,将面临两方面的难题:(1)多项式的计算对仁八误差非常敏感;(2)求高次方程的根尤其是重根存在困难。1、霉法:求按模最大特征值,即刀=max|al2、反霏法:求按模最小特征值,即|人=minlall3、Jacobi法:求实对称矩阵所有特征值和特征向量。g、5胺人训当出东芸要yeu科咤史义指泌-求按樱暨灾眩径债晚法是一种迭代法。基本思想:把矩阵的特征值和特征向量作为一个无限序列的极限来求得如对于R阶方阵4,任取一个初始向量X(0,作迭代计算X&+D=4X(9则可得迭代序列X(0,X(0,X(,.1序列的收敛情况与A的按模最犬特征值有密切关系,分析序列的极限,即可得到4的按模最大特征
4、值及特征向量的近似值。胺如坂讪雅务出坂坂下面介绍两种筒单情况:(一)按模最大特征值只有一个,且是单实根(二)按模最大特征值是互为反号的实根胺如坂讪雅力击坂坂(按模最大特征值只有个,且是单实根定理设i阶方阵4有i个线性无关的特征向量X;,其对应的特征值为市训1.2,.02),且满尸:IYa雷网|则对任何非零初姗向量V(至少第1个分量不为0)所构成的迪代序列Vt+D=4VQ(R=0,1,2,.)有:l(【+I)儿一戛觐;其中y表示Vleo0中的第j个分量。皎如坂讪雅力出坂坂证明:因为具有n个线性无关的特征向量双;(衍1.2,.,)而任一f维的非零向量,如V00:0=(y妄0)2y互0)总可以用X的线性组合来表示:V0=X1+05Xz+.+C,双,(其中lx0)取VD=4V(0WwO=4V(D=42VW(0皎如坂讪雅力出坂坂v(翼+l)=4v佛)P4*+l、/(。)以构成向量迭代序列。由矩阵特征值的定义有:4XCAX;(扬2)则有+D=4t1.P00=4h+Fs4hi沥+Q,4.又,=-我仪-罚十Qo-或人-罡十-十Q-欣人-发,1=狒“叭X】+幽翼“二;12力皂十大才口口
