《相似多边形与位似图形》优质课一等奖教案

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1、25.725.7 相似多边形与位似图形相似多边形与位似图形 【学习目标学习目标】 1、了解相似多边形的含义。 2、了解位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。 3、利用图形相似解决一些简单的实际问题。 【知识要点知识要点】 1、相似多边形的定义。 2、相似多边形的性质。 3、位似图形的定义。 4、位似图形的性质。 5、位似图形性质的应用。 【重点、难点重点、难点】 重点：重点：相似多边形及位似图形的性质。 难点：难点：相似多边形及位似图形的性质应用。 【知识讲解知识讲解】 1 1、相似多边形：、相似多边形： 两个边数一样的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么

2、这两个多边形叫 做相似多边形。 提示提示 1 1：只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相似。 例如：例如：两个正方形，各对应角都是 90，且各边对应成比例，所以两个正方形是相似多 边形。 提示提示 2 2：相似多边形的读、写法，在表示两个多边形相似时，要把表示对应角对应顶点 的字母写在对应位置上。 2 2、相似比：、相似比： 相似多边形对应边的比叫相似比，多边形的相似比是有顺序的。 例如：例如：四边形 ABCD四边形 ABCD，AB 与 AB是对应边，假设，那 么说四边形 ABCD 与四边形 ABCD的相似比为 31；反之，四边形 ABCD与四 边形 ABCD 的相似比为 1

3、3。 3 3、相似、相似多边形的性质：多边形的性质： (1)对应边成比例； (2)对应角相等。 如：如：五边形 ABCDE五边形 ABCDE，那么有AA，BB，C C，DD，EE，且。 (3)相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 (4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。 (5)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。 4 4、位似图形的定义：、位似图形的定义： 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似 图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。 (1)位似图形是针对两个相似图形

4、而言的。 (2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。 (3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，而相似图形不一定构成位似图形。 5 5、位似图形的性质：、位似图形的性质： (1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相 似比。 (2)两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它 们的各对对应边分别平行或在同一直线上。 【例题讲解例题讲解】 例例 1 1：以下多边形，一定相似的是( ) A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形 分析：分析：根据相似多边形的定义，两个矩形只能满足对应角相等，对应边不一定

5、成比例； 两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角 都是 90。 答案：答案：C 例例 2 2：如图，四边形 ABCD四边形 ABCD，AB18，AB4，BC6， B77，C83，A115，求 BC 的长度和D的大小。 解：解：四边形 ABCD四边形 ABCD， ，即，解得 BC27， BB77，CC83， D360ABC85。 例例 3 3： 四边形 ABCD四边形 ABCD， 它们的对角线分别交于点 O、 O， 那么 OAB 与 OAB相似吗？为什么？ 解：解：OABOAB，因为： 四边形 ABCD四边形 ABCD， ABDABD，ABCABC， 2

6、4，13， OABOAB。 例例 4 4：如图，四边形 ABCD 及四边形 ABCD中，BB，DD， ，那么，四边形 ABCD 和四边形 ABCD必相似。试说明理由。 分析：分析： 要说明四边形 ABCDABCD， 只需说明AA， CC就可以了， 我们可构造相似三角形来完成AA，CC。 解：解：连结 AC、AC， BB， ABCABC， 11，22， 同理，ADCADC， 33，44， 1313，2424， 即BADBAD，BCDBCD， 又因， 四边形 ABCD四边形 ABCD。 例例 5 5：四边形 ABCD四边形 ABCD相似比为，它们的周长之和为 20，面积之 差为 5，那么它们的周长

7、和面积分别是多少？ 分析：分析：根据题意，利用相似多边形的性质，可构造方程(组)即可求解。 解：解：设它们的周长分别为 C1、C2，面积分别为 S1、S2， 根据题意有，(1)，(2)， 由(1)得：C112，C28， 由(2)得：S19，S24， 所以，它们的周长分别为 12，8；面积分别为 9，4。 例例 6 6：如图，四边形 ABCD，把它放大 2 倍，即新图形与原图形的相似比为 2。 分析：分析：(1)把一个图形放大 2 倍，就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离 之比等于 2。 (2)位似中心的位置是任意的，可选在图形内、图形外、图形上均可。 解：解：(1)任取一点 O； (

8、2)以 O 为端点作射线 OA、OB、OC、OD； (3)分别在射线 OA、 OB、 OC、 OD 上取 A、 B、 C、 D使 OAOAOBOB OC OCODOD21； (4)连结 AB、BC、CD、DA。 那么四边形 ABCD就是所求作的图形。 例例 7 7：，锐角三角形 ABC，求作矩形 DEFG 使 DE 在边 BC 上，点 G 和 F 分别在边 AB 和 AC 上，且 DEGD21。 分析：分析：这个作图从要求的条件看，很难一次就作出满足全部条件的图形，因此可先作出 满足一局部条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形，然后再根据位似图形的概 念进展位似变换，以得出所求的满足全

9、部条件的图形。 作法：作法：1、在 AB 上任取一点 G1，作 G1D1BC 于 D1； 2、在 D1C(或其延长线上)上取一点 E1，使 D1E12G1D1； 3、以 G1D1、D1E1为邻边作矩形 D1E1F1G1； 4、作射线 BF1交 AC 于点 F； 5、作 EFE1F1交 BC 于点 E，作 FGF1G1交 AB 于 G，作 GDGD1交 BC 于 D。 四边形 DEFG 就是所求的矩形。 例例 8 8：，ABC 的顶点坐标分别为 A(0，2)，B(3，1)，C(2，1)，以原点 O 为位似中 心，将这个三角形放大为原来的 2 倍得到 ABC，请写出 ABC的顶点坐标。 解：解：根

10、据位似图形中对应点的坐标的变化规律， 点 A(0，2)的对应点 A的坐标为(02，22)即 A(0，4)， 所以，类似的有 B(6，2)，C(4，2)。 【过关练习过关练习】 1 1、选择题。、选择题。 (1)两个相似多边形一组对应边分别为 3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( ) A、 B、 C、 D、 (2)在矩形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点，如果矩形 ABCD矩形 EFCB，那么它们 的相似比为( ) A、 B、 C、2 D、 (3)一个多边形的边长为 2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为 24，那 么这个多边形的最短边长为( ) A、6 B、8

11、 C、12 D、10 (4)ABC 与 DEF 是位似图形(如图)，相似比为 23，AB4，那么 DE 的长等于( ) A、6 B、5 C、9 D、 (5)如下图，ADE 与 ABC 是位似图形，且位似比为 12，假设 ABC 的面积为 12cm 2， 那么 ADE 的面积为( ) A、2cm 2 B、3cm2 C、4cm2 D、6cm2 2、在矩形 ABCD 中，截去一个正方形 ABEF，如下图，得到一个矩形 ECDF，如果矩形 ABCD 矩形 ECDF，试问矩形 ABCD 是否为黄金矩形，请说明理由。 3、如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别位于边 AB、CD 上，EFAD，于是

12、 EF 将平行 四边形 ABCD 分成平行四边形 AEFD 和平行四边形 EBCF，设边 ABa，BCb。 (1)假设平行四边形 ABCD 与平行四边形 ADFE 相似，求 DF 长。 (2)假设平行四边形 AEFD 与平行四边形 EBCF 相似，求 DF 长。 (3) 假设平行四边形 AEFD 与平行四边形 EBCF 与平行四边形 ABCD 都相似，请你求出 a 与 b 之间的关系 4、如图，在一矩形花坛 ABCD 四周修筑水路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛 边 AB20 米，AD30 米，试问小路的宽 x 与 y 的比值是多少时，能使小路边沿围成的矩形 ABCD能与矩形 ABCD

13、相似？请说明理由。 5、如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)，发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴 影，桌面直径为 1.2m，桌面距地面 1m，灯泡距地面 3m，求地面上阴影局部的面积。 6、，如图，O 是坐标原点，B、C 两点的坐标为(3，1)，(2，1)。 (1)以 O 为相似中心在 y 轴左侧，将 OBC 放大到 2 倍，画出图形。 (2)分别写出 B、C 两点的对应点 B、C的坐标。 (3)如果 OBC 内部一点 M 的坐标为(x，y)，写出 M 的对应点 M的坐标。 7、，如图，梯形 ABCD，ADBC，不改变图形的形状，把它的各边都扩大为原来的 。 8、作一个等边三角形，使它的三个

14、顶点分别在 ABC 三边上，并且有一边和 BC 平行。 【参考答案参考答案】 1、(1)A (2)A (3)B (4)A (5)B 2、分析：分析：要判别矩形 ABCD 是否为黄金矩形，即是否有成立，由此可作出判定。 解：解：矩形 ABCD 为黄金矩形。理由： 由题意，矩形 ABCD矩形 ECDF， ， 又ABAFBEEFCD，ECDF， ， 故点 F 是 AD 的黄金分割点，所以的比值为黄金比， 从而的比值是黄金比， 故矩形 ABCD 为黄金矩形。 3、解：解：(1)平行四边形 ABCD平行四边形 ADFE， 即 DF。 (2)假设平行四边形 AEFD平行四边形 EBCF， ， DF， 假设

15、平行四边形 AEFD平行四边形 BCFE， 那么，DF(a2b)。 (3)因平行四边形 AEFD 与平行四边形 EBCF，平行四边形 ABCD 都相似， 那么有平行四边形 AEFD平行四边形 EBCF平行四边形 BCDA， ， a。 4、解：解：依题意，应有， ， 20(302x)30(202y)，解得， 故当时，矩形 ABCD矩形 ABCD。 5、解：解：如图，设桌面面积为 S1，阴影局部面积为 S2， 圆桌的面积为 S1(m 2)， 因桌面与阴影是位似图形， ， S2(m 2)。 答：答：地面上阴影局部面积为m 2。 6、解：解：(1)如下图： (2)根据位似变换中对应点坐标的变化规律，

16、点 B 的坐标为(3，1)，对应点 B的坐标为(6，2)， 点 C 的坐标为(2，1)，对应点 C 的坐标为(4，2)。 (3)点 M(x，y)的对应点 M的坐标为(2x，2y)。 7、解：解：(1)在梯形 ABCD 外任取一点 O； (2)作射线 OA、OB、OC、OD； (3) 在射线 OA、OB、OC、OD 上取点 A、B、C、D使； (4) 顺次连结 A、B、C、D，梯形 ABCD就是所要求作的图形。 8、解：解：作法： (1)在 ABC 的边 AC 上任取一点 D，作 DFBC 交 AB 于 F； (2)以 DF为一边作等边 DEF； (3)连结 AE，并延长 AE交 BC 于点 E； (4)作 EFEF交 AB 于 F； (5)作 DEDE交 AC 于 D； (6)连结 FD。