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1、2019届百师联盟全国高三冲刺考（四）全国卷数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】计算，再计算交集得到答案.【详解】令，故，故，故集合，所以，故选：A【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根，=1-4a0，0a1，事件“关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根”的概率为.故选C【考点】几何概型的意义;模拟方法估计概率3执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A2B4C8D
2、16【答案】C【解析】【详解】试题分析：列出循环过程中S与k的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选C【考点】循环结构4设是虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（ ）A6B50CD【答案】C【解析】计算，再代入计算得到答案.【详解】由，得，则.故选：C【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.5以双曲线的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】计算抛物线的焦点为，得到抛物线方
3、程.【详解】由题意知：抛物线的焦点为，又顶点在原点，所以抛物线方程为故选：.【点睛】本题考查了双曲线焦点，抛物线方程，意在考查学生的计算能力.6已知数列的前项和，则满足的正整数的集合为（ ）ABCD【答案】A【解析】计算，代入不等式计算得到答案.【详解】，即，故，故，则，即，得，故选：A【点睛】本题考查了数列的通项公式，解数列不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力.7若命题p：函数的单调递增区间是，命题q：函数的单调递增区间是，则（ ）A是真命题B是假命题C是真命题D是真命题【答案】D【解析】由二次函数的单调性可判断命题p为真，利用增+增为增结合函数的定义域可得增区间进而知命题q为假命题，从
4、而可得解.【详解】命题p：函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递增，命题p为真；命题q：函数的定义域为，且和为增函数，所以函数的增区间为和，所以命题q为假命题.所以是真命题.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性及复合命题的真假判断，注意区别在区间上单调递增和增区间的区间，属于基础题.8若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为ABCD【答案】D【解析】函数的图像向右平移个单位得，所以，所以得最小值为9有一个正三棱柱，其三视图如图所示，则其体积等于（ ）ABCD【答案】D【解析】根据三视图可以得知几何体为高为的正三棱柱，计算得到体积.【详解】由给出的三视图可以
5、得知几何体为高为的正三棱柱，若设该正三棱柱的底面边长为，则有，所以，故正三棱柱的体积为故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10若实数，满足，则的最大值为（ ）A512B8C256D64【答案】C【解析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令，可知要使取到最大值，只需取到最大值即可，根据图像平移得到答案.【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令，可知要使取到最大值，只需取到最大值即可，观察图像可知，当直线过点时取到最大值8，故的最大值为256.故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.11已知直线的方程是，若点在直线上的射影为，点，
6、则的最大值是（ ）ABCD【答案】C【解析】直线过定点，故点在以为直径的圆上，圆心，计算得到答案.【详解】直线过定点，故点在以为直径的圆上，圆心，半径，当、共线时取得最大值.故选：C【点睛】本题考查了圆相关线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.12抛物线：的焦点与双曲线：的左焦点的连线交于第二象限内的点若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 ( )A B C D【答案】D【解析】试题分析：抛物线：的焦点的坐标为，且由得，；双曲线的左焦点的坐标为，直线的截距式方程为：两条渐近线方程分别为：，；设点的坐标为，根据题意：，即， ，.因为直线与抛物线的交点，所以在直线上，于是有：， ，.故选
7、D.【考点】1、抛物线的标准方程；2、导数的几何意义.二、填空题13若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.【答案】【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意14已知函数则不等式成立的解集为_【答案】或【解析】讨论和，分别解不等式得到答案.【详解】当时，即，解得或，故；当时，即，故；综上所述，不等式的解集为或故答案为：或.【点睛】本题考查了解分段函数不等式，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.15在中，角，的对边分别是，若，则的取值范围是_【答案】【解析】根据正弦定理得到，得到答案.【详解】，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦
8、定理求范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.16下面有四个关于充要条件的命题：“向量与非零向量共线”的充要条件是“有且只有一个实数使得；“函数为偶函数”的充要条件是“”；“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；设，则“是“为偶函数”的充分不必要条件其中，真命题的序号是_【答案】【解析】根据向量共线，函数的奇偶性，互斥事件和对立事件，充分不必要条件的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】由共线向量定理，知命题为真当时，显然为偶函数，反之，是偶函数，则恒成立，就有恒成立，得，因此为真对立事件是互斥事件的特殊情形，所以为假在中，若，则是偶函数但是是偶函数，则也成立，故“”
9、是“为偶函数”的充分不必要条件故答案为：.【点睛】本题考查了向量共线，函数的奇偶性，互斥事件和对立事件，充分不必要条件，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17已知，函数（1）求函数的最小正周期及最大值；（2）计算的值【答案】（1），；（2）3【解析】（1）化简得到，计算周期和最大值得到答案.（2）计算，计算得到答案.【详解】（1），故，；（2），设，则，故【点睛】本题考查了三角函数化简，三角函数的对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.18如图，在平行四边形中，沿对角线将折起，使点到达平面外的点的位置，（1）求证：平面平面；（2）当平面平面时，求三棱锥的外接球的体积；（3）当为等腰
10、三角形时，求二面角的大小【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明，得到平面，得到证明.（2）证明得到，设的中点为，计算得到球半径为，得到体积.（3）作与的延长线交于点，连接，为二面角的平面角，为等边三角形，得到答案.【详解】（1）在平行四边形中，翻折后，又、为平面内两条相交直线，平面，平面，平面平面；（2）平面平面，平面且交线，平面，从而，设的中点为，则，同理，即为三棱锥外接球的球心，球半径为，三棱锥外接球的体积.（3）作与的延长线交于点，连接，平面， 即为二面角的平面角，为等腰三角形，且，在中，为等边三角形，二面角的大小为【点睛】本题考查了面面垂直，外接球体积，二面角，意在考查学生
11、的计算能力和空间想象能力.19已知椭圆的焦点是，其上的动点满足点为坐标原点，椭圆的下顶点为（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：与椭圆的交于，两点，求过，三点的圆的方程；（3）设过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试证明：无论取何值时，恒为定值【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（1）根据椭圆定义计算得到答案.（2）联立方程得到，设所求圆的方程为，计算得到圆方程.（3）设：，联立方程得到，计算得到答案.【详解】（1），椭圆的标准方程为（2）联立方程得得，解得，即，设所求圆的方程为：依题有，解得，所以所求圆的方程为：（3）设：，联立方程组，得，点在椭圆内，恒成立设，则，为定值【点睛】本题考查了
12、椭圆方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20已知二次函数，不等式的解集有且只有一个元素，设数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】（1）计算得到，计算，时，得到答案.（2）计算，再利用裂项求和法计算得到答案.【详解】（1）不等式的解集有且只有一个元素，又，故，当时，当时，不满足，.（2），当时，【点睛】本题考查了通项公式，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：
13、.【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【详解】()依题意：在上递增，对恒成立即对恒成立，只需当且仅当时取，的取值范围为 ()当时，其定义域是时，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，函数取得最大值，其值为当时，即函数只有一个零点 ()由已知得两式相减，得由及，得令，在上递减， 22在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若成等比数列，求a的值。【答案】（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可【详解】（1）由直线l的参数方程消去参数t得,，即为l的普通方程由，两边乘以得 为C的直角坐标方程.（2）将代入抛物线得由已知成等比数列，即，整理得 （舍去）或.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐
