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1、2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题一、单选题1命题“，”的否定是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可.【详解】“，”的否定是，.故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2在等比数列中，则与的等比中项为( )ABCD【答案】D【解析】根据等比中项的性质进行求解即可.【详解】因为，所以与的等比中项为.故选：D【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.3“直线与平行是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据两直线平行求出的值，然后根据充分性和必要性的
2、定义进行判断即可.【详解】因为直线与平行，所以有且，解得，所以直线与平行是“”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了两直线平行求参数问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.4在等差数列中，则( )ABCD【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式，结合已知，可得方程组，解方程组求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，可得：.故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力.5若，则下列结论不正确的是( )ABCD【答案】B【解析】根据不等式的基本性质和作差比较法进行求解即可.【详解】A：由，故本选项正确
3、；B：由，故本选项是错误的；C： 因为，所以，因此，故本选项是正确的；D：因为，所以，因此，故本选项是正确的.故选：B【点睛】本题考查了不等式的基本性质和作差比较法的应用，属于基础题.6给出下列四个命题：有的质数是偶数；存在正整数，使得为的约数；有的三角形三个内角成等差数列；与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( )ABCD【答案】C【解析】根据存在性命题的定义进行判断即可.【详解】：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命
4、题；：因为当三角形一个内角为，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，也就是不是存在性命题,因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题.故选：C【点睛】本题考查了存在性合理的定义，考查了命题的真假判断，属于基础题.7若不等式的解集是或，则，的值可能为( )A，B，C，D，【答案】D【解析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可.【详解】因为不等式的解集是或，所以有，A：当时，符合，此时，故本选项不符合题意；B：当时，不符合，故本选项不符合题意；C：当时，不符合，故本选项不符合题意；D：当时
5、，符合，此时，故本选项符合题意.故选：D【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力.8已知等差数列的前项和为，若，则当最小时，的值为( )ABCD【答案】A【解析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】因为，所以有，又因为，所以有，说明等差数列的公差是正数，因此当时，最小.故选：A【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列下标的性质，属于中档题.9已知数列是等比数列，有下列四个命题：是等比数列；是等比数列；是等比数列；是等比数列，其中正确命题的序号是( )ABCD【答案】A【解析】根据等比数列的性质和通项公式，结合举特例法进行
6、判断即可.【详解】：当等比数列的公比是负数时，显然数列中，存在某些项是负数，因此没有意义，故本命题是假命题；：因为数列是等比数列，所以有，其中是等比数列的公比，因此有，因为，所以是等比数列，故本命题是真命题；：显然数列是以为首项，公比为的等比数列，但是，因此数列不能成为等比数列，故本命题是假命题；：因为数列是等比数列，所以有，其中是等比数列的公比，因此有，因此数列是等比数列，故本命题是真命题.故选：A【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列通项公式的应用，属于中档题.10我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍
7、，问几何日而长等？”翻译为现代汉语：今有蒲草第一天长高尺，莞草第一天长高尺.以后蒲草每天增长的长度是前一天增长的一半；而莞草每天增长的长度是前一天增长的两倍，问多少天蒲草、莞草高度相等？蒲草、莞草高度相等的时刻约在( )A第天B第天C第天D第天【答案】C【解析】根据题意，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】设第天，蒲草、莞草高度相等，由题意可知：或，解得或(不符合题意，舍去)，因为，所以，由题意可知：蒲草、莞草高度相等的时刻约在第3天.故选：C【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等比数列的前项和公式的应用，考查了数学运算能力.二、多选题11已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变
8、得更甜.对于，下列不等式正确的有：( )ABCD【答案】AC【解析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可.【详解】由题意可知，可以得到不等式，若，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.故选：AC【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题.12已知实数，满足，则可能的值为( )ABCD【答案】CD【解析】根据的特征和已知，运用基本不等式求出当，为
9、正实数时，的取值范围，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】对于式子而言， 都不能为零，所以不能为零，选项A不符合题意；当，为正实数时，（当且仅当时取等号，即时，取等号），显然，故选项C、D符合题意；因为都不能为零，所以不成立，故选项B不符合题意.故选：CD【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.13对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值，是数列的“谷值点”，在数列中，若，则数列的“谷值点”为( )ABCD【答案】AD【解析】由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可,【详解】因为，所以，当，此时数列单调递增，所以数列的“谷值点”为2，7.
10、故选：AD【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题.三、填空题14已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】根据集合与元素的关系，结合分式不等式的解法进行求解即可.【详解】因为，所以有.故答案为：【点睛】本题考查了集合与元素的关系，考查了分式不等式的解法，考查了数学运算能力.15在等比数列中，若则_【答案】4【解析】因为所以 16已知命题“若，则”为真命题，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】先求出不等式的解集，然后对进行常变量分离，构造函数，求出函数的值域，然后根据题意进行求解即可.【详解】,，设，函数在时单调递减，在时单调递增
11、，所以有，因此函数的值域为，因为“若，则”为真命题，所以有.故答案为：【点睛】本题考查了已知命题是真命题求参数的取值范围，考查了构造法，考查了数学运算能力.17已知，为正实数，定义.对于正实数，若，则_；当取最小值时，_.【答案】 【解析】根据定义，由，通过换元法，解一元二次方程求出的值；【详解】因为，所以有，因为，为正实数，所以令，因此有；，当且仅当时，取等号，此时.故答案为：；【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了解一元二次方程，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力.四、解答题18在等差数列中，已知：，.（1）求数列的公差.（2）求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.【答案】
12、（1）2；（2）最小值为，此时正整数的值为.【解析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等式进行求解即可；（2）由（1），结合等差数列的前项和公式，求出的表达式，然后应用配方法进行求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，所以等差数列的公差为；（2）因为，所以，当时，有最小值，此时正整数的值为.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列前项和最小值问题，考查了数学运算能力.19已知，.（1）解关于的不等式；（2）若不等式的解集为，求实数，的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据函数的解析式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解集性质
13、，结合根与系数进行求解即可.【详解】（1）；（2），由题意可知：不等式的解集为，因此有：或.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了已知一元二次不等式的解集求参数的值，考查了数学运算能力.20已知等比数列的前项和，其中为实数.（1）求实数的值，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项的积.【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）根据，求出，利用等比数列的性质，以及结合之间的关系进行求解即可；（2）根据等比数列的通项公式，结合等差数列前项的和公式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以可得,由等比数列的性质可知: 或(不符合题意舍去),所以,因此,当时, ,显然当时,也适合,因此；（2）.【
14、点睛】本题考查了已知等比数列前项的和求通项公式，考查了等差数列前项的和公式，考查了数学运算能力.21已知数列的前项和为，且，.（1）令，证明：数列为常数数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的最大项的值.【答案】（1）证明见详解，；（2）.【解析】（1）根据递推公式，求出的值，再对递推公式再递推一步，两个等式相减，再结合，可以证明出数列为常数数列，也就能求出的通项公式；（2）判断数列的单调性，根据数列的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为，所以可求出，由，可得，得：，可得：当时，因为，所以得：，而，所以数列，因此有，即说明数列是公差为等差数列，因此；（2）因为，所以有，因此，因为，所以，因此数列是单调递减数列，所以当，数列有最大项，其值为.【点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了数列的单调性，
