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1、中考数学专项练习第12讲 圆中的计算与证明21 / 21一、圆中的计算与证明知识导航切线圆中的计算与证明性质：见切点、连半径、得垂直判定有交点、连半径、证垂直无交点、作垂直、证半径勾股经典例题求线段长相似三角函数例题1如图，中，以为直径的 交于 点 ，交于点 ，过点 作于点 ，交的延长线于点 （1） 求证：是 的切线（2） 已知，求和的长 答案 （1） 证明见解析（2）， 解 析 （1） 连接，为 的直径，即，又，直线与 相切（2） 连接 ， ， ， ， 标注 【题型】 三角形 相似三角形 相似三角形模型 题型：射影定理（双垂直）例题2如图，、分别是的直径和弦，于点 过点 作的切线与的延长线交
2、于点 ，、的延长线交于点 （1） 求证：是的切线（2） 若，求线段的长 答案 （1） 证明见解析（2） 解 析 （1） 连接，经过圆心 ，在和中， ，是半的切线，即是的切线（2） ，是等边三角形，由 （ ）知， 标注 【题型】 圆 与圆有关的位置关系 直线与圆 题型：切线的判定例题3如图， 是的外接圆，是 的直径，的延长线与过点 的直线相交于点 ，且（1） 求证：是 的切线（2） 过点 作，垂足为 ，与交于点 ，若，求的值 答案 （1） 证明见解析（2） 解析 （1） 连接，是直径，是 的切线（2） ， ， ，中，在， ， 标注 【题型】 圆 与圆有关的位置关系 圆中证明与计算 题型：圆与相似
3、例题4如图内接于 ，是 的直径，点 是延长线上一点，且（1） 求证：是 的切线（2） 若，求 的直径 答案 （1） 证明见解析（2） 的直径为 解析 （1） 连接，又，又，是 的切线（2） 在中，又， ， 的直径为 标注 【题型】 圆 圆的相关概念 圆基础 题型：圆周角定理以及应用例题5如图，在中，以为直径的交于点 ，过点 作的垂线交于点 ，交的延长线于点 ，且（1） 求证：是的切线（2） 若，求的半径 答案 （1） 证明见解析（2） 解析 （1） 如图：连接，是直径，且，且，且是半径是的切线（2） ，即半径为 标注 【题型】 圆 与圆有关的位置关系 圆中证明与计算 题型：圆与三角函数例题6如
4、图， 是 上一点，点 在直径的延长线上， 的半径为 ，（1） 求证：是 的切线（2） 求的值 答案 （1） 证明见解析（2） 解析 （1） 如图，连接、， 的半径为 ， 是直角三角形，是 的切线（2） 是直径，在和中， 标注 【题型】 圆 与圆有关的位置关系 圆中证明与计算 题型：圆与三角函数例题7如图，为外接圆 的直径，且（1） 求证：与 相切于点 （2） 若，求的长 答案 （1） 证明见解析（2） 解 析 （1） 连接，交于 ，则，是 的直径，即，即，与 相切于点 （2） ， ， ，在中，在中， ，在中， 标注 【题型】 圆 圆的相关概念 圆基础 题型：垂径定理以及应用例题8如图， 是的外
5、接圆，为直径，的平分线交 于点 ，过点 作分别交、的延长线于点 、 （1） 求证：是 的切线（2） 若，求的长度（结果保留 ） 答案 （1） 证明见解析（2） 解析 （1） 如图，连接，平分，是 的切线（2） 如图，作于点 ，连接，则，四边形是矩形， ，即，在中，在中，则的长度为 标注 【题型】 圆 与圆有关的位置关系 圆中证明与计算 题型：圆与勾股二、数学万花筒数学家的文学修养著名数学家徐利治先生把自己的治学经验概括为：培养兴趣、追求简易、重视直观、学会抽象、不怕计算等五个方面。最近他在南京讲学时又特意补上一条喜爱文学，并谆谆教导后学， 不可忽视文学修养。在不少人看来，数学和文学似乎是磁铁的
6、两极，前者靠理性思维，后者属形象思维，两者互相排斥。然而历史上许多大数学家都有较好的文学修养，笛卡尔对诗歌情有独钟，认为“诗是激情和想象力的产物”，诗人靠想象力让知识的种子迸发火花。为马克思所敬仰的数学家莱布尼兹，从小对诗歌和历史怀有浓厚的兴趣。他充分利用家中藏书，博古通今，为后来在哲学、数学等一系列学科取得开创性成果打下坚实基础。数学王子高斯在哥廷根大学就读期 间，最喜好的两门学科是数学和语言，并终生保持对它们的爱好。他大学一年级从图书馆所借阅的25本书中，人文学科类就占了20本。正当作数学家还是语言学家的念头在脑中徘徊时，19岁的高斯成功地解决了正17边形的尺规作图问题，从而坚定了从事教学
7、研究的信念。继高斯之后的伟大数学家柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事，在本上算数画图。他的数学天赋被数学家拉普拉斯和拉格朗日发现。据说拉格朗日曾预言柯西将成为了不起的大数学家，并告诫其父不要让孩子过早接触数学，以免误人歧途，成为“不知道怎样使用自己语言”的大数学家。庆幸的是，柯西的小学是在家里上的，在其父循循善诱下，系统学习了古典语言、历史、诗歌等。具有传奇色彩的是，柯西政治流亡国外时，曾在意大利的一所大学里讲授过文学诗词课，并有论诗词创作法一书留世。柯西的文学功底由此可见一斑。G波利亚年轻时对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人海涅的作品，并以与海涅同日出生而骄傲，曾因把
8、其作品译成匈牙利文而获奖。1921年来中国讲学的罗素是当代著名的哲学家、数理逻辑学家，著名的“理发师悖论”的发现者。但他也是一个文学家，有多篇小说集出版发行。令许多专业作家大跌眼镜的是，非科班出身的他于1950年获得诺贝尔文学奖。再看着国内的数学家。华罗庚能诗善文，所写的科普文章居高临下，通俗易懂，是值得后人效法的楷模。苏步青自幼热爱旧体诗词，读过许多文史书籍。他把诗词作为自己的业余爱好，靠它来调剂生活。许宝综自幼即习古典文学，10岁后学作古文，文章言简意丰，功底非同寻常。李国平不仅是中国的“复分析”奠基人之一，也是一位优秀的诗人，其诗集李国平诗选1990年由武汉大学出版社出版发行，序言则是苏
9、步青的一首颂诗：“名扬四海句清新，文字纵横如有神。气吞长虹连广宇，力挥彩笔净凡尘。东西南北径行遍，春夏秋冬人梦频。拙我生平偏爱咏，输君珠玉得安贫。”传为数坛佳话。三、懒人笔记数学和文学是相通的。学习数学的人要注重文学修养，有志于数学的年轻人尤其不要忽视这一点。巩固1四、巩固加油站如图，在中，点 在斜边上，以 为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点 ， ， 连结已知（1） 求证：是 的切线（2） 若，求 的半径 答案 （1） 证明见解析（2） 解析 （1） 连接，在中， ，则为 的切线（2） 设 的半径为 ，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：，在中， ，即， 解得： 标注 【题型】 三角形 锐角三角函数及解直角三角形 锐角三角函数 题型：解直角三角形的综合应用巩固2如图，在中，平分交于 点 ，作交于 点 ， 是的外接圆（1） 求证：是 的切线（2） 已知 的半径为，求，的长 答案 （1） 证明见解析（2）， 解析 （1） 如图，连接，平分，又，即，为 的切线（2） ，又，即，即，解得： 标注 【题型】 圆 与圆有关的位置关系 直线与圆 题型：切线的判定巩固3如图，以的边为直径的 恰为的外接圆，的平分线交 于点 ，过点作交的延长线于点 （1） 求证：是 的切线（2） 若
