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1、中考数学专项练习第1讲 实数初步一、平方根的定义和性质知识导航定义示例剖析平方根概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根 即若，则 就叫做 的平方根表示：一个非负数 的平方根可用符号表示为“”，读作“正、负根号 ”， 则 和是 的平方根的平方根为总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根算术平方根概念：一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即，那么这个正数 叫做 的算术平方根规定： 的算术平方根为 .表示：一个非负数 的算术平方根可用符号表示为“”性质：在式子中，且，则 是 的算术平方根的算术平方根为总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；
2、负数没有算术平方根平方根的计算求一个数的平方根的运算，叫做开平方(开方)，平方运算和开方运算互为逆运算易错点：1、注意区分“是的平方根”与“的平方根是”2、注意求算术平方根的平方根，应该先求出算术平方根再算它的平方根 经典例题例题11求下列各数的平方根与算术平方根：9 / 9(1)(2)(3)(4)(5)2求下列各式的值：(1)(2)(3)(4)(5)(6)例题21下列说法中正确的有（）个的平方根是；一定是正数； 的算术平方根是 ；的平方根是；是的平方根A.B.C.D.2下列说法中错误的有几个（）；若,则；若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方
3、根也一定相等；算术平方根一定是正数A.B.C.D.3一个正数的两个相异的平方根是和 ，则 .例题3求下列各式中 的值：(1)(2)(3)二、立方根的定义和性质知识导航定义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于 ，则这个数叫做的立方根，即若，则 就叫做 的立方根表示：一个数 的立方根可用符号表示为，读作“三次根号 ”计算：；，则 是 的立方根；， 则是的立方根； 的立方根为的平方根为；总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 .立方根的计算求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算 经典例题例题41求下列各数的立方根：(1
4、)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2计算下列各式的值：(1)(2)(3)(4)(5)三、实数知识导航定义示例剖析无理数无限不循环小数叫无理数， 实数有理数和无理数统称实数实数与数轴的关系实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数数轴上 点即为表示的点分类实数有理数整数分数无理数正整数负整数有限小数与无限循环小数正分数负分数正无理数无限不循环小数负无理数整数部分：直接取与其最接近的两个整数中最小的整数表示 的整数部分，如：小数部分：小数部分=原数整数部分 表示 的小数部分，如：实数在整数之间，则整数部分为实数的整数部分与小数部分
5、，小数部分为实数在整数之间，则整数部分为,小数部分为实数在整数之间，则整数部分为 ，小数部分为 经典例题例题5解方程：(1)(2)例题61下列说法正确的个数为（ ）无理数都是实数实数都是无理数无限小数都是无理数带根号的数都是无理数没有绝对值最小的实数A. 个B. 个C. 个D. 个2在， ， ，中无理数有 个例题7如图，数轴上点 对应的数是什么？你能在数轴上找到对应的点吗？与同伴进行交流例题81如图，在数轴上点 和点 之间表示整数的点共有 个2如果的小数部分为 ，的整数部分为 ，则的值为 3已知的小数部分为 ，的小数部分为 ，求的值4已知，其中 是整数，且，求的相反数四、数学万花筒无理数的诞生
6、在数学课上我们习得，实数包括有理数和无理数，在日常生活中，接触到的多为有理数，有理数极多，密密麻麻地排布在数轴上，即便如此，无理数还见缝插针地往里塞。那么问题来了，聪明的古人是怎么发现无理数存在的呢？说起无理数的发现，这和勾股定理有着莫大的关系。我们都知道，在直角三角形中，直角边a、b和斜边c满足：，其中蕴含着平方和开方运算，这样必然会出现对整数开方不尽的情况，约在4000多年以前，美索不达米亚人在计算边长为1的正方形的对角线长时，发现了无理数的存在，虽然没有给出严格定义，但擅长计算的他们采用递归法找到了一个无限接近的有理数，人们在楔形文字泥板中精确到小数点后1000000位。大家还记得大数学
7、家毕达哥拉斯吧？发现无理数的人，是他的弟子希帕索斯。也是在求正方形的对角线时，希帕索斯发起了愁，这到底是个什么数？根据老师所讲“万数皆数”“1是所有数的生成元”“宇宙的一切都归结于整数和整数之比”，既然能用合适的整数来表示对角线，那么，能否用两个整数比来描述呢？希帕索斯花了很长时间，仍是一无所获。接下来，希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的方法反证法，证明出了这个数字无法表示为两个整数之比：假设数为a=q/p，假设q、p是化为最简分数比后的整数，即q、p互素，根据勾股定理，12+22=a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，q、p互素，所以p肯定是奇
8、数。五、懒人笔记六、巩固加油站巩固1求下列各数的平方根、算术平方根平方根算术平方根巩固2下列说法正确的是（）A. 是的平方根B.是的算术平方根C.的平方根是D.是 的一个平方根巩固3已知的平方根是，的算数平方根是 ，求的值巩固4求下列各数的立方根立方根巩固5下列各式中，正确的是（ ）A.B.C.D.巩固6在， ， ，中，无理数有（ ）个A.B.C.D.巩固7平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ，平方根与立方根相等的数是 巩固8下列关于立方根的说法错误的是（ ）A. 互为相反数的两个数的立方根互为相反数B. 互为倒数的两个数字的立方根互为倒数巩固9在数轴上作出对应的点巩固10如果需要用整数估计的值，下面估值正确的是（ ）A.B.C.D. 无法估计它的值的范围巩固11我们都知道的整数部分是 ，那么它的小数部分就是它与 的差那么，已知的小数部分是 ，的小数部分是 ，求的平方根
