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1、中考数学专项练习第8讲 中点辅助线一、斜边中线和倍长（类）中线知识导航21 / 21中点辅助线添加倍长中线一般中位线等腰三角形： 三线合一特殊直角三角形： 斜边中线等于斜边一半倍长(类)中线方法延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等目的构造一对对顶的全等三角形与一组平行线示例如图，其中，则，延长至 ，使得如图，其中使得则，延长至 ，应用转移边，构造平行，转移角斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半若为，斜边上的中线，；为等腰三角形，相关模型：在由两个直角三角形组成的图中，点，总有结论：为中经典例题例题11如图，在中，是斜边上的中线，则 答案 解析在中，是斜边上的中线，故答案
2、为： 标注四边形 四边形综合 中点类 题型：直角三角形斜边中线性质以及应用2锐角中，若于 ，于 ， 、 分 别为、的中点，若，则的长为 答案 解析如图，连接、， 是的中点， 是的中点，在中， 标注四边形 四边形综合 中点类 题型：中位线性质以及应用3如图，在中 ， ， 分 别是，的中点， 是上一点，连接、，若，则的长度为（ ）A.B.C.D. 答案 解析C考察中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线为斜边的一半， 为中点，且，又 为中点，故 选 标注三角形 三角形及多边形 与三角形有关的线段 题型：与三边关系有关的证明例题21如图，在平行四边形中，点是的中点，于 如果，那么的值是（ ）A. B.
3、C.D. 答案 解析A取中点 ，连接、，则可知 标注四边形 平行四边形 平行四边形问题 题型：根据平行四边形角的性质计算与证明2如图，在矩形中， 是的中点，于 点 ，则的长是 答案 解析方法一：四边形是矩形， 是的中点，过 作于 ，方法二：如图，过点 作，点 是中点，四边形是矩形，故答案为： 标注四边形 特殊四边形 矩形 题型：矩形的性质例题3猜想与证明：(1) 如图 ，摆放矩形纸片与矩形纸片，使 ， ， 三点在一条直线上，在边上，连接，若为的中点，连接，试猜想与的关系，并证明你的结论图(2) 拓展与延伸：若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片与正方形纸片，其他条件不变， 则和的关系为 图(
4、3) 如图 摆放正方形纸片与正方形纸片，使点 在边上，点仍为的中点，试证明（ ）中的结论仍然成立 答案(1)(2)(3)证明见解析且证明见解析 解析(1)，延长交于 ，图矩形中，同理，为的中点，在和中，中，为斜边的中点，(2) 由 （ ） 知，四边形，是正方形，(3) 连接，图由题意可知：， ， ， 共 线 中，为斜边中点， 同理， 标注四边形 四边形综合 中点类 题型：中点类综合计算与证明二、中点四边形知识导航中点四边形四边形四边中点如右图，顺次取四边形四边中点，得四边形，则：四边形一定为平行四边形；若，则四边形为矩形；若，则四边形为菱形等对边四边形如右图，在四边形 中，取不相等的对边中点
5、、 及对角线 中点 、 ，得四边形 ，则四边形 一定为菱形经典例题例题41如图，在四边形中 ， ， 分 别为，的中点， 是的中点，则与的关系是（ ）A.B.C. D. 不确定 答案C 解析 为中点， 是中点，同理，在中，即 标注四边形 四边形综合 中点类 题型：中位线性质以及应用2如图，在四边形中， 、 、 、 分 别是、的中点，则 答案 解析联结， 、 分 别是、的中点，是的中位线，同理可得，分别是，的中位线，四边形为菱形，且垂足为 ，在中，根据勾股定理得：， 等式两边同时乘以 得：， 标注四边形 特殊四边形 菱形 题型：菱形的性质四边形 特殊四边形 菱形 题型：菱形的判定-从四边形例题5如
6、图 ，在四边形中， ， 分 别是，的中点，连结并延长，分别与，的延长线交于点， ， 求证.小明的思路是：在图 中，连结，取的中点 ，连结，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得图(1) 请完成上述证明过程(2) 问题：如图 ，在中， 点在上， ， 分 别是，的中点，连结并延长，与的延长线交于点 ，若，连结，判断的形状并证明图 答案(1)(2)证明见解析判断是直角三角形，证明见解析 解析(1)(2)如图，连结，取的中点 ，连结、，则，分别为与的中位线，故，从而，再利用平行线的性质， 可证得如图连结，取的中点 ，连结、， 是的中点，同理，为等边三角形，即是直角三角形 标注四边形 四边形综合 中点
7、类 题型：中位线性质以及应用例题6如图，在五边形中， 为的中点求证： 答案证明见解析 解析方法一：如图 ，取中点，取中点，连、，得，图同理，又 又，方法二： 如图 ，延长到，使得， 延长到 ，使得连接、图由，是等腰三角形 是中点，() 标注三角形 全等三角形 全等辅助线 题型：辅助线综合运用三、数学万花筒数学江湖中的“独孤九剑” !若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的九章算术。九章算术作者不详，师承不明，无门无派，身
8、世神秘，仿佛天外飞仙般突然降临江湖，一出现便惊艳了众生，引得历代名家尽折腰，甘愿殚精竭虑，纷纷为之作注，九章之学，遂成大宗。如此经典，非圣贤不能为。魏晋数坛盟主刘徽归戴周公，“周公制礼而有九数，九数之流则九章是矣”，又云西汉张苍、耿寿昌曾“因旧文之遗残，各称删补”。若斯言足征，则九章算术之渊源， 实可远溯千年，至迟于西汉初期已见成书，其后递经修订，于东汉初期已传定本。正如“独孤九剑”有九式一样，九章算术当然也有九章，每章研习一术，分别是方田术、粟米术、衰分术、少广术、商功术、均输术、盈不足术、方程术、勾股术，合称“九术”，即九种算法，不过听起来怎么都像是武功秘诀或兵战奇略。中国人重务实而轻务虚
9、，九章算术亦不屑于纯粹的数理推演，凡所研习，莫不与社会生活息息相 关。对此，刘徽曾有精辟的论述：方田者，“以御田畴界域”；粟米者，“以御交质变易”；衰分者， “以御贵贱禀税”；少广者，“以御积幂方圆”；商功者，“以御功程积实”；均输者，“以御远近劳费”；盈不足者，“以御隐杂互见”；方程者，“以御错糅正负”；勾股者，“以御高深广远”。可见，九章算术所要解决的是诸如田亩丈量、粮食折换、商品交易、物资分配、土木工程、水利建设、赋税缴纳、徭役摊派、盈亏平衡等方方面面的问题，是基于现实的需要，而非偶发的兴趣，故而所要探究的也是如何计算面积、体积、容积，如何进行分数运算、比例运算、等差运算、正负数运 算，
10、如何开平方、开立方，如何求解多元线性方程组，如何运用勾股定理测高望远等实用实效的数学方法。剑有剑招，算有算题，“独孤九剑”须得从一招一招练起，九章算术也得从一题一题做起。 整部九章算术说到底就是一本算题集，共列举了二百四十六道算题，每题皆有问有答有解。这又好比二人对剑，一人出招，一人接招，至于如何见招拆招，则全赖“九术”之妙用。四、懒人笔记五、巩固加油站巩固1如图，在中，边上的中线，则等于（ ）A.B.C.D. 答案D 解析，故 选 标注三角形 勾股定理 勾股定理基础 题型：勾股逆定理的应用巩固2如图，在中，于 ，于 ， 是的中点，则的周长是 答案 解析，于 ，于 ， 是的中点，是直角三角形，是的中线，
