《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三好初中生（公众号 ID：sh-czs）:最全中学生学习资料整理二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质知识讲解（基础） 【学习目标】1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想【要点梳理】要点一、二次函数与之间的相互关系1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式2.一般式化成顶点式 对照，可知， 抛物线
2、的对称轴是直线，顶点坐标是要点诠释：1抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用2求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点二、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连
3、结起来要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低
4、点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，要点诠释：如果自变量的取值范围是x1xx2，那么首先要看是否在自变量的取值
5、范围x1xx2内，若在此范围内，则当时，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，；当xx1时，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，；当xx2时，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，时y值的情况【典型例题】类型一、二次函数的图象与性质1求抛物线的对称轴和顶点坐标【答案与解析】解法1（配方法）： 顶点坐标为，对称轴为直线解法2（公式法）： ， ， 顶点坐标为，对称轴为直线解法3（代入法）： ， 将代入解析式中得， 顶点坐标为，对称轴为直线【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种
6、方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用举一反三：【变式】把一般式化为顶点式（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.2（2016泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）ABCD【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a0，b0，于是得到一次函数y
7、=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论 【答案】A【解析】解：y=ax2+bx+c的图象的开口向上，a0，对称轴在y轴的左侧，b0，一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限故选A【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围类型二、二次函数的最值3求二次函数的最小值.【答案与解析】解法1(配方法)： ， 当x-3时， 解法2(公式法)： ，b3， 当时， 解法3(判别式法)： ， x是实数， 62-4(1-2y)0， y-4 y有最小值-4，此时，即x-3【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别
8、式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择举一反三：【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化当L是多少时，矩形场地的面积S最大？【答案】（0L30）（m）时，场地的面积S最大，为225m2类型三、二次函数性质的综合应用4（2015衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点【答案与解析
9、】解：（1）A点为直线y=x+1与x轴的交点，A（1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，B（2，3），抛物线顶点在y轴上，可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为y=x21；（2）ABM为直角三角形理由如：由（1）抛物线解析式为y=x21可知M点坐标为（0，1），AM=，AB=3，BM=2，AM2+AB2=2+18=20=BM2，ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x21平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（xm）2+2m，即y=x22mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2（2m+1）x+m2+2m=0，平移后的抛物线总有不动点，方程x2（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，0，即（2m+1）24（m2+2m）0，解得m，即当m时，平移后的抛物线总有不动点【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键
