《2020全国高中数学联赛B卷一试+加试：试题及详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020全国高中数学联赛B卷一试+加试：试题及详解（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020全国高中数学联赛B卷一试+加试：试题及详解2020年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1. 若实数X满足 log2x = log4(2.r) + log8(4x),则兀=2. 在平面直角坐标系中,圆Q经过点(0,0),(2,4),(3,3),则圆Q上的点到原点的距离的最大值为3. 设集合X = 1,2,20, A&X的子集，/的元素个数至少是2, 口/的所有元素町排成连续的止整数，则这样的集合A的个数为AA4. 在三角形 NBC 中，BC=4,C4=5扭=6,则sin6-+cos6-=.225设9元集合电二 +加|% 1,2,3 , i是
2、虚数单位.a = (zpz2,-,zg)是/中所有元素的一个排列，满足|z1|r2|.|z9|,则这样的排列a的个数 为6己知一个止三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体枳为7. 在凸四边形初CD中，BC= 2AD .点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足龙+2020西+元+2020纭=6.设分别为四边形ABCD与的面枳， 则丄=.S8. 己知首项系数为1的五次多项式/(x)满足:/(力)=8巾,巾=1,2,5 ,则f(x)的一次项系数为二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.9(本题满分16分)在世纠,二为长轴的一个端点，为短轴的一个 端点，人，竹
3、为两个焦点.若丽近+丽丽=0,求hm乙4B冋taii乙鬥的 值.10.（本题满分20分）设正实数abc满足/+4F+9C? =4b + 12c-2,求2 3卜+的最小值.b c11.（本题满分20分）设数列a“的通项公式为证明：存在无穷多个止報数加，使得皿-1是完全平方数.2020年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)参考答案及评分标准说明: 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4
4、分为一个档次，第10、 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若实数 X 满足 log2 x = log4（2x） + logs（4x）,则 x =答案：128 解：由条件知log2 x = log4 2+ log4 x 十 log8 4 十 log8 x =丄+丄log? x 十亍十丄log? x，2 23 3解得log2x = 7,故x = 128.2.在平面直角坐标系中,圆Q经过点(0,0), (2,4), (3,3),则圆Q上的点 到原点的距离的最大值为答案：2氐解:记力(2,4), 8(3,3),圆Q经过点注意到ZOBA
5、 = 90 (直线OB与的斜率分别为1和-1),故Q4为闘Q的言径.从而闘。上的点到原点O 的距离的最大值为|创=2厉3.设集合无=12,20,AX的/集，/的元素个数至少是2,且/的所冇元素可排成连续的正整数，则这样的集合月的个数为答案：190.解:每个满足条件的集合力可由其最小元素。与最大元素b唯一确定，其中 aZX,ab,这样的(d, b)的収法共冇C； = 190种，所以这样的集合A的个数 为 190.6 “JJ4在三角形/C 中，BC=4=G4 = 54B = 6,则 sin6 4-cos6 =2243 答案：M解：由余弦定理 w*芒丄込汀今所以=1 sin2 A41 . 3儿 43
6、4 4645. 设 9 元集合/ = a+bi|c,bwl,2,3 , i 是虚数单位.a = (zlsz2,-,z9)是力中所有元素的一个排列,满足|zj|z2|-|z9|,则这样的排列a的个数 为.答案：8解：由于|l + i|2 + i| = |l 十 2i| 所以g(x) = (.r-l)(x-2)-(x-5),于是/(x) = (x-l)(x-2)(x-5) + 8x,所以/(X)的次项系数等于 卜* + * +右+ ”5!十8 = 282.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.9(本题满分16分)在邂il竺，仝空轴的-个端点，B为短轴的一
7、个 端点，你竹为两个焦点若丽.正 +血两 =0,求X/ABFCXAABF2的 值.X V2解：山对称性，设椭闘的方程为+ = 1(/0), A(a, 0)9 5(0, b), cr tr斤(一c,0), /=；(c,0),其中c = yla2-b2 .也生件知AFx-AF2+BFBF2=-c-a)(c -a) + (-c2 +2) =a2 +62 - 2c?2 = 0.4分 所以 n2 4-Z2 - 2c2 = a2 + 3b2 = 0 , Hka = c = yjlb 8分记O为坐标原点，则tan /.ABO = = 5/3 , tan Z.OBE = tan /LOBF.=忑b12 b12
8、分所以tan Z.ABFX tan ZABF、= tan (ZABO + Z.OBF) tan (/.ABO 一 Z.OBF)16分V3+V273-721J3ZT 1jjs = 1 V3-V2 l + V3 /25.h = 1，2,io分15分20分10.(本题满分20分)设正实数ac满足/ + 4F+9c2=：4b + 2-2,求I ?3的最小值.a b c解：由题设条件得2+(2Z)-1)2+(3c-2)2=3,由柯两不等式得3 爲2+(2b-l+(3c-2)4(a + 2b-l + 3c-2)2, 即( + 2 + 3c-3)t9,故a + 2方 + 3c M 6 又由柯西不等式得+#+
9、打(“ + 2方 + 3少(1+ 2 + 3)2,所以12 3、36a b c a + 2b + 3c 当a = b = c = l时等号成立.故l + + 的最小值是6a b c11.(本题满分20分)设数列的通项公式为5证明：存在无穷多个止整数加，使得”宀-1是完全平方数. 证明：记q、=吁乎，尊=L半则缶+% =1，勺？2 =一1，于是丄亦丄不丄不一一 - -?| d +%+2=% 昭十=， 的每一项都是正秤数.所以= 1, a2 = 1.又注意到q + l = g：(i = l, 2),有 护-护 +士 q； _ q；由此易知，数列 由汁算易得q： + q； = 7 ,故。2”+3%
10、1-1 = ?严 _?严吉 右,一恋“ 一1=右2+右2_祸仁阳2 2 N 7=T q：” 2 + g；” $ + 彳 + ； -1=| q：+q；“2+7 _1=| 严2+旷2+2=床 q；* -旷115 分所以，对任意正榕数川，如32,一 1都是完全平方数.于是对于正奇数加， ”4% - 1均为完全平方数.20分2020年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)一、(本题满分40分)如图，ZC、D.E是圆Q上顺次的五点，满足ABC=BCD = CDE, 乙PAQ = UEQ 点几0分别在线段AD. BE上,且P在线段C0上.证明:二、(本题满分40分)设集合/二L2,19.是否存在集合/的非空子集
11、 S、S“满足(1) SJ D S2 = 0 , S U $2 =厦：(2) S2都至少有4个元素；(3) 的所有元索的和等于S?的所有元素的乘枳？证明你的结论.三、(本题满分50分)给定整数设乐勺,出0,满 足6 +“2 2 + 冃对任意(1/ / b. +b.求+(5 的最小值.四、(本题满分50分)设为不超过12的正整数满足：存在常数C,使 得/+F三C(modl3)对任意正整数成立求所有满足条件的有序数对(“)2020年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正
12、确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、（本题满分40分）如图，久BC0E是鬪（2上顺次的五点，满足ABC = BCD = CDE，点E0分别在线段AD, BE上,LP在线段C0上.证明： 乙PAQ = ZPEQ 证明：记S为/D与处的交点，卩为C0延长线与切。的交点.注意到ABC = BCD = CDE，可设川3, CD所对的圆周角均为a, BC, DE所 对的圆周角均为0.于是20分ZATQ = TC = a十 0,乙 PTE = ECTE = a + ,乙 PSQ = ABDA + ZDBE = c + 0 2由厶观=乙PSQ得S： A, T. OI川点共関,又由APTE = Z
