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1、20202021学年度高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求）1、在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（ ） A. B. C. D. 或2、已知，且与互为共轭复数，则（ ）A. B. C. D. 3、已知球的表面积为，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 4、复数，则在复平面内的对应点所在的象限是（ ）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限5、若平面平面，直线，直线，则与的位置关系是A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面6、“存在实数，使”是“”的（ ）
2、A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7、棱台的上下底面的面积分别是和，高为，则该棱台的体积是（ ）A. B. C. D. 8、已知三点不共线，若，点为线段的中点，且，则（ ）A. B. C. D. 9、在棱长为的正方体中，为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ）A.B. C. D.10、中，则（ ）A. B. C. D. 11、的外接圆的圆心为，则（ ）A. B. C. D. 12、如图，各棱长均为的正三棱柱，分别为线段和上的动点，且平面，线段的中点的轨迹的长度为，则正三棱柱的体积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共
3、有4个小题，每小题5分，共20分）13、已知单位向量满足，则_ 14、是虚数单位，复数是关于的方程 （为实数）的一个根，则_15、已知单位向量与单位向量的夹角为，若向量与的夹角为，则实数_16、如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：四棱锥的体积恒为定值；对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面；存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值其中为真命题的是_（填写所有正确答案的序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（10分）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内
4、接一个高为的圆柱.（1）求该圆锥的体积；（2）求内接圆柱的表面积.18、（12分）已知向量，（1）若与平行，求的值；（2）若与垂直，求的值19、（12分）在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点，求证：三点在同一条直线上.20、（12分）已知中内角所对的边分别为，且，.（）求角的大小；（）求的取值范围.21、（12分）已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，.（1）求证：；（2）求的取值范围.22、（12分）如图，在矩形和矩形中，矩形可沿任意翻折.（1）求证：当点不共线时，线段总平行于平面.（2）“不管怎样翻折矩形，线段总与线段平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；
5、如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.鹤岗一中20202021学年度高一下学期期中考试数学试题参考答案一、1、D 2、C 3、C 4、B 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、C 11、A 12、D13、 14、 15、 16、二、17、解：（1）由题意，圆锥的高为，底面面积为，2分圆锥的体积,.4分（2）设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，则圆柱的上底面为中截面，可得，.6分，.8分.10分18、解：（1）因为向量，所以，2分因为与平行，所以，4分即，所以.6分（2）因为向量，所以，8分因为与垂直，所以，所以
6、，10分解得.12分19、证明：因为平面，平面，.2分平面，平面，.4分所以平面平面.6分又因为平面，所以直线平面，.8分所以平面，.10分所以直线，即三点在同一条直线上.12分20、解：（）由题意知，结合余弦定理，整理得，.3分因为，所以，.4分又因为，所以.6分（）由（）知：，所以 ，.8分因为，所以，.9分所以，所以，.11分即的取值范围.12分21、（1）证明：设,，.2分三点共线，则存在，使得，即，.4分即，整理得，.6分即，即，即；.7分（2）由（1），.8分，可知，.10分，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围为.12分22、（1）证明：在平面图形中，连接MN，与A
7、B交于点G. 1分四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且，四边形ADBE是平行四边形，.又，四边形ADNM是平行四边形，.3分当点F，A，D不共线时，如图，平面，平面，所以平面ADF，同理平面ADF，又， 平面，平面平面ADF.又平面GNM，平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FA D. 5分（2）解：这个结论不正确. 6分要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：当点F，A，D共线时，由（1）得.当点F，A，D不共线时，如图，由（1）知平面平面FDA，则要使总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与共面即可. 7分若要使FD与共面，连接FM，只要FM与DN相交即可，平面ABEF，平面ABCD，平面平面，若FM与DN相交，则交点只能为点B，由于四边形为平行四边形，与的交点为的中点，则只有M，N分别为AE，DB的中点才满足. 9分由，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. 10分平面平面，平面平面，平面平面FDA，.12分数学试题 第11页 共11页
