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1、天津市滨海新区2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设全集为，集合，集合，则集合（ ）ABCD2设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数的部分图像大致为（ ）AB CD4为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在的学生人数为25，则的值为（ ）A40B50C60D705已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A10B20C24D326已知是定义
2、在上的偶函数，且在上是增函数.设，则，的大小关系是（ ）ABCD7已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是ABCD8已知双曲线右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）A2BCD9已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、双空题10复数（是虚数单位）的实部为_，_11某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有_种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数，则_.（用数字作答）12如图，在四边形ABCD中，且，则实数的值为_，
3、若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_三、填空题13已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则_.14二项式的展开式中常数项为-20，则含项的系数为_.（用数字作答）15已知正实数，满足：，则的最大值是_.四、解答题16函数（1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值；（2）已知的内角，的对边分别为，若，且，求的面积.17如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，（1）求证：平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.（3）若点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得二面角的余弦值为.18已知数列，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，且，成等比数列.（1）求数列和的通
4、项公式.（2）记，求数列的前项和.（3）.19椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程.（2）已知点，若直线与椭圆相交于两点，且直线，的斜率之和为，求实数的值.（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.20已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数.（1）若，时 .（i）当时，求曲线在处的切线方程.（）当时，判断函数在区间零点的个数.（2）若，当时，求证：若，且，则.试卷第5页，总5页参考答案1D【分析】根据集合，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可.【详解】解：，集合，则.故选：D
5、.【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题.2B【分析】首先解两不等式，再根据集合的包含关系及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：解绝对值不等式可得，即，将分式不等式变形可得，解得，因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题3B【分析】先判断出函数是奇函数,可排除A,C选项,再取,由排除D选项,即可得出答案.【详解】,其定义域为:,又,所以为奇函数,故排除A,C选项,又当时,所以排除D选项,故选:B.【点睛】本题考查根据解析式判断函数图像,考查函数性质的基本应用,常用排除法解决此类问题,一般
6、利用函数的奇偶性,单调性,特殊值等进行选项排除.4B【分析】分析处理频率分布直方图中的数据求解即可.【详解】解：依题意，得，解得，故选：B【点睛】本题考查了频率分布直方图，属基础题.5C【分析】各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.【详解】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即，,故选：C6A【分析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知在
7、上是增函数，在上是减函数.因为，所以，故.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.7C【分析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.【详解】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，则（舍去），当时，则，符合题意，即，令，解得，即的单调递增区间是；故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.8B【分析】，得出到渐近线的距离为，由此可得的关系，从而求得离心率【详解】因为，而，所以是等边三角形，到直线的距离为，又，渐近线方程取，即，所以，化简得故选：B9D
8、【分析】由题意可知，函数与的图象在上有三个交点，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.【详解】因为函数在上有个不同的零点，所以，关于的方程在上有个不同的实数根，作出函数的图象如下图所示：函数的图象恒过点，当时，函数的图象与轴的交点为，当时，即当时，函数与的图象在上仅有个不同的交点，如下图所示：当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，如下图所示：当时，要使得函数与的图象在上有个交点，则与的图象在上有个交点，则与函数在上
9、的图象有两个交点，即方程在上有两个不等的实根，设，则在上有两个零点，可得，解得，此时.且与的图象在上有一个交点，则，解得.由上可知，；当时，如下图所示：直线与函数在上的图象有三个交点.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10 【分析】由复数定义及复数除法运算，化简复数，即
10、可求得其实部；根据复数模的定义，即可求得.【详解】根据复数定义及复数除法运算可得，所以复数z的实部为，由复数模的定义可知.故答案为：；.【点睛】本题考查复数的概念、复数模的求法，属于基础题1115 2 【分析】从经过的6个红绿灯路口中取出2个，即,他遇到红灯的次数满足二项分布，可得答案.【详解】他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有他遇到红灯的次数值为0,1,2,3,4,5,6.他在每个路口遇见红灯的概率均为,他遇到红灯的次数满足二项分布.即所以故答案为：(1). 15 (2). 2【点睛】本题考查组合问题和将实际问题转化为二项分布并求期望，属于中档题.12 【分析】求出，由利用数量积公式求解
11、的值即可；建立坐标系，设，则，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以；建立如图所示的坐标系，因为，可得，设，因为，则，所以，当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：,.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用13【分析】本题可根据抛物线的定义得出结果.【详解】抛物线即，焦点，因为点在抛物线上且，所以结合抛物线定义易知，故答案为：.14【分析】先写出二项式的展开式的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数，再根据通项公式
12、可求出答案.【详解】二项式的展开式的通项公式为 当时，为常数项.则，令，得，所以含项的系数.故答案为：-615.【详解】试题分析：，由题意得，令，当且仅当，时，等号成立，即所求最大值为，故填：.考点：基本不等式求最值.16（1），最大值为1，最小值为；（2）.【分析】（1）根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），函数的最小正周期；因为所以，因为函数在单调递增，在上单调递减所以，所以函数的最大值为1，最小值为；（2），.
13、，即，由正弦定理以及，可得，由余弦定理可得，可得，.17（1）证明见解析；（2）；（3）位于点.【分析】建立空间直角坐标系.（1）求出平面的法向量，再根据数量积的运算即可证明；（2）利用夹角公式可求得；（3）设，再求平面的法向量，利用夹角公式可求得建立方程可求得结果.【详解】以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，（1）证明：，设平面的法向量为，则，令得，又平面，平面.（2），设异面直线与所成角为.则，异面直线与所成角的余弦值为.（3）设，则，设平面的法向量为，则，令得，解得或（舍）.当位于点时，二面角的余弦值为.18（1），；（2）；（3）.【分析】(1)由递推公式探讨出数列任意相邻两项的关系得，由等差数列的已知求出其首项和公差得；(2)由(1)求出数列的通项公式，再分组求和得解；(3)对和式从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得.【详解】（1）因，时，则有，即，而时，即，是首项，公比为3的等比数列，从而；设等差数列的公差d，而，依题意，所以；（2）由(1)知，当n
