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1、华东师大一附中2020学年度第一学期高一年级期中考试数学试题、填空题（16题每小题4分，712题每小题5分，本大题满分54分）1. 已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】先化简集合B，再进行交集运算即可.【详解】因为集合，所以.故答案为：.2. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，解得，即函数的定义域为.故答案为：.3. 625四次方根为_.【答案】【解析】【分析】利用一个数的n次方根的定义求解即可.【详解】因为，所以625的四次方根为.故答案为：.4. 已知，若幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原
2、点成中心对称，则_.【答案】【解析】【分析】根据幂函数单调性，先确定，再根据条件，分别判定，三种情况，即可得出结果.【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，则，若，则，其定义域为，图象不可能关于原点成中心对称，排除；若，则，其定义域为，且，所以是奇函数，其图象关于原点成中心对称，满足题意；若，则，其定义域为，而，所以是偶函数，且不满足，所以不关于原点成中心对称，排除；故答案为：.5. 设集合，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题中条件，得到是的真子集，由此列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，则
3、，解得.故答案为：.【点睛】结论点睛：由充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含6. 已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先由不等式的解集求出与之间关系，进而代入所求不等式，即可得出结果.【详解】因为不等式的解集为，所以，即，因此不等式可化为，则，解得，即不等式的解集为.故答案为：.7. 已知，则当且仅当a，b满足 _
4、.时，成立.【答案】或或【解析】【分析】按，和三种情况讨论，可得等式成立【详解】当时，成立；当时，成立；当时，成立；故答案为：或或8. 已知正数x，y满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】化简得：，利用均值不等式以及换元求出答案.【详解】化简得：因为：，由均值不等式得：，令，则化简得解得或（舍去），所以的取值范围为.故答案为：.9. 函数在区间1,2上的最大值比最小值大，则实数的值是_【答案】或【解析】【分析】根据指数函数的单调性分类讨论，列方程求解a.【详解】若，则函数在区间1,2上单调递减，根据题意有，解得或0（舍去），所以；若，则函数在区间1,2上单调递增，根据题意有，解得或0
5、（舍去），所以.综上所述，或.故答案为：或10. 已知正实数a满足，则_.【答案】【解析】【分析】利用已知式两边同时取以e为底的对数，化简计算，再利用换底公式代入计算即可.【详解】正实数a满足，两边取对数得，即，故，解得，故.故答案为：.【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e为底的对数，化简计算得到的值，再结合换底公式即突破难点.11. 用表示费控集合A的元素个数，若，且，记满足条件的实数a组成的集合为S，则_.【答案】【解析】分析】分和两种情况讨论，将集合中的方程化成因式乘积形式，必有一根为，再根据题意讨论二次方程根的个数，解出参数值即可详解】当时，则，解得；当时，则，即；实数
6、a组成的集合为故答案为：12. 设为正实数，现有下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中的真命题有_（写出所有真命题的编号）【答案】 【解析】【详解】试题分析：对于,因为,由此可知,若这与矛盾,故有成立,所以为真;对于取知,所以不真;对于取成立,但不成立,所以不真;对于由得到:,又因为中至少有一个大于1（否则已知|a3-b3|=1不成立）,从而成立,故为真;综上可知真命题有.考点：不等式的性质.二、选择题（每小题5分，满分20分）13. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质以及特殊值法即可求解.【详解】对于A，当时，故A不正确；对于B，因为，所以，
7、所以，故B正确；对于C，为减函数，由，则，故C不正确；对于D，当时，则，故D不正确.故选：B14. 已知，记，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】利用作差法可比较与的大小关系.【详解】，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小，考查计算能力，属于基础题.15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 【答案】A【解析
8、】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.16. 已知0b（ax）2的解集中的整数恰有3个，则A. 1a0B. 0a1C. 1a3D. 3a0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有11，而0b1，由不等式 0解得即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么32，由2得b2（a1），则有a+1，即a+1+1，解得a3，由3b0，解得a1，则1a3三、解答题（本大题满分76分）17. 已知全集，集合，集合.（1）当时，求集合；（2）
9、若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式以及绝对值不等式，求出集合，再利用集合的并运算即可求解. （2）由题意可得，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当时，所以.（2）由（1）可得或， 若，则，可得或，解得或.所以实数a的取值范围为.18. 设函数.（1）当时，在区间上画出这个函数的图像；（2）是否存在整数a，使该函数在上是严格减函数，且当时，都有，如果存在，求出所有符合条件的a，若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）存在或【解析】分析】（1）直接作出图象即可；（2）利用分离常数的方法结合反比例函数的单调性得出的范围，化简将恒成立
10、问题转化为求最值得出的范围，再由是整数求值即可【详解】（1）当时，（2）存在或符合题意函数在上是严格减函数，则，解得当时，都有，等价于，即又在上单调递增，则故的取值范围是，为整数，则符合条件的有【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象，考查函数单调性的应用，以及函数的恒成立问题，解决本题的关键是将当时，都有进行去分母化简，并分离参变量，将不等式恒成立转化为函数的最值问题，结合反比例函数的单调性求出参数的范围，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题19. 已知函数（1）若，求x的取值范围；（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论
11、，结合函数的解析式，列出不等式，即可求解；（2）令，得到，把对于恒成立，转化为对于恒成立，结合函数的最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，当时，令，整理得，因为，可得，所以，解得；当时，令，整理得，此时无解，所以不等式的解集为，即x的取值范围.（2）令，因为，可得，则不等式对于恒成立，即对于恒成立，因，可得，可得对于恒成立，令，当时，所以，所以，即实数m的取值范围.【点睛】不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：1、若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求出解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；2、转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立，转化为，即；恒成立
12、，转化为，即.20. 已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率；把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大（注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计）【答案】（1）函数关系式；（2）价值损失的百分率为；（3）故当重量比为时，价值损失的百分率达到最大【解析】【分析】（1）依题意设，又当时，故 （2）设这块矿石的重量为克，由可知，按重量比为切割后的价值为，价值损失为，价值损失的百分率为（3）解法1：若
13、把一块该种矿石按重量比为切割成两块，价值损失的百分率应为，又，当且仅当时取等号，即重量比为时，价值损失的百分率达到最大 解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为，则价值损失的百分率为，又，故，等号当且仅当时成立 【详解】请在此输入详解！21. 若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，（1）若比3接近1，求x的取值范围；（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.【详解】（1）因为比3接近1，故，故，故，所以.（2）取，则，故比接近.但，故“比接近”推不出“”.所以“比接近”是“”不充分条件.若，则，故，所以或，若，则且，故，所以，故，所以，也就是“比接近”.若，则且，故，所以，故，所以，故“比接近”是“”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，即证：，即证：，即证：，因为，因为，
