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1、精品资源第八讲二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式.有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点.这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形， 有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形.例题求解【例U已知我十二=2 ,那么J一心一 -J 2 x的值等于,x. x 3x 1. x 9x1（河北省初中数学创新与知识应用竞赛题）1
2、思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+-的代数式表x示.【例2】 满足等式x和+v& - j2003x J2003y +/2003xy =2003的正整数对（x, y）的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（全国初中数学联赛题）思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数 解.【例3】已知a、b是实数，且（d1+a2 +a）（l+b2 +b） =1,问a、b之间有怎样的关系 叫推导.（第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编）思路点拨由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4
3、】已知：4=信+工（0a1）,求代数式/+*6+等之*2九：2 4*的值. ax x -2x x-2- x2 -4（四川省中考题）思路点拨视x -2,x2 -4x为整体，把 G =6+5 平方，移项用含 a代数式表示x -2,x2 -4x ,注意0a1的制约.【例5】（1）设a、b、c、d为正实数，ab, cad,有一个三角形的三边长分别为3a2十c2 , Jb2+d2,（ba）2+（d y）2 ,求此三角形的面积；（“五羊杯”竞赛题）（2）已知a, b均为正数，且 a+b=2,求U= da2+4+vb2+1的最小值.（北乐市竞赛题）思路点拨（1）显然不能用面积公式求三角形面积（为什么？），J
4、a1111.已知 x=1+*3,那么十一=. x 2 x2 -4 x-2+c2的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；（2）用代数的方法求 U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值.学力训练1 .已知x =、. 3-.2.3 ,那么代数式.xy (x y)2 .xy (x y)2值为1 12 .右 a+=4 (0a1),则 Va=.a: a3 .已知 d = L1，则 2二(“信利杯”全国初中数学竞赛题)12.已知 Ja+4 +Va_7 =5 ,贝U ；6 -2a = 13.已知lK+、：（12-x）2 +9的最小值为=
5、（“希望杯”邀请赛试题） -(- -x -2)的值.x 2.,3 .2 12x-4 x-2(2武汉市中考题)2_.a -a -2 a44 .已知a是4Y3的小数部分，那么代数式(2+ 2)(a)的值为a 4a 4 a 2a a(黄石市中考题)5 .若 x =V3 +1 ,贝U x3 -(2 +V3)x2 +(1+2V3)x-V3 +5 的值是()A. 2 B.4 C.6 D.8（河南省竞赛题）6 .已知实数 a满足2000-a +Ja -2001 =a ,那么a2000 2的值是（）A. 1999 B. 2000 C . 2001D, 20027 .设a =，而3+J997 , a=100i+
6、J999 ,c=2师无，则a、b、c之间的大小关系是 ()A. abc B. cba C. cabD. acb8 .设 0, b0, 且 a(7a +B) =3而(Ja +5x；b),求却 不、的值. ab f abJ10 .已知 1 -V(x -1)2 =x,化简 yx2 +4x +)：x2 +4+x .14 .已知（x+*；x2 +2002）（y+*y2 +2002）=2002 ,贝U x2 _3xy_4y2 _6x_6y+58=.（江苏省竞赛题）15 . 1+a2 如果 a +b =2002G , ab =2002 2 , b3+c3 =b3 c3 ,那么 a3b3 c3 的值为（）A.
7、 2002 V2002B. 2001 C. 1D. 0（武汉市选拔赛试题）16 .已知 a=1, b=2j2_”W, c=wW2,那么 a、b、c 的大小关系是（）A. abc B. bac C. cba cab（全国初中数学联赛题）17 当 xJ+一；002 时,代数式（4x3 2005x2001）2003 的值是（）A. 0 B. 1 C. 1 D. 22003（2002 年绍兴市竞赛题）18 .设a、b、c为有理数，且等式a+bC+cVSnJs+Zj?成立，则2a+999b+1001c的值是（）A. 1999 B. 2000 C. 2001 D.不能确定（全国初中数学联赛试题）19 .某
8、船在点。处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60的方向，船向西航行 20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？20 .已知实数 a、b满足条件a -b =- 0),化简:a22 .已知自然数x、v、z满足等式Jx-2e-内+石=0 ,求x+y+z的值.（加拿大“奥林匹克竞赛题）欢迎下载因二次根式的化简膜值1例题求解】规】由条件得/+; = .用式=户工一匚二二=卓夺 Jm+ + + M J* W 1选H由1s/55丽”厅+仃+6丽得 Q壮而0 0.故ry 1前3, 003为质数、必有，hT j j-=*2003i-2003 ly=l例 3 口+#=0 原等式
9、两边分制耒削f帮+4= 6TTb$+JT才=/ITT小国式相加.井 电+启=-s+用.散&4人二口例 4 H。+ A （工-2）工。（门 + 工），带 ，-4才=2+ j1 4j |a I a 0曜fl口。一+2-才 1t 才+3 )* 2 ) 1五一 幻工-2+ j2 -X* / . 1 t1 +(赘) 累式 7.卜+):+_L_(Lm 以 T /（1）如用I,作长方胎儿BCD,使AS = *-*f.AD=r.gK 口八至E,使DE=Jjfii DC至F,使DFE.连靖EF+FH,财EF七八,乙EF=冏不产,BE= QHTKFTF,从而知（：产就是题设的三的形,而S41KL 0a(*fl)r
10、+ rywc+-1( JC)(fr-yMD , C 注意。#20017. A 把覃.，（:分别平方I由条杵将-Z 融一】油-明即后一5而）病+$南一。，因&；）*$；%故只有内-5而=0+幡疝=256_ EM廿十鼬+ /如产 5鼬 ,.用隔天 ,-为1 小256-6+ 725 2骷IP,由绝对值的意乂，得上手。*当时，门一批U-1产h |一门一才” =9当工1时，门一 47771711-丁一口 =瞬一了|父人则。*转1 -1-(fc-flirf.Z# A = 2-fl代入口=介中4+ /不1得U= T?十/二）阡产，抻jfi围1坤图”.可得的最小值为 ArB - A B + BET = g.（
11、K 1）(ffl 2)【学力训练】1013.霜=第+遮+1加霜-】=倡+怎-=&+标原式一小;个l0Cjy)2j-tyxDix将已知式左边分子有理牝的石R一 =1.两式相加得/rFT=3,B=5.原式-方-IJX参处例5. W.#+尸=Q,麻式=（J十WGr43）3&G+W上耨=581丸C 由5+6尸一Q=M = 4&弧得时一，其若萨十FV。,得肥=。矛盾*必有+D016. H g tfL 理一一量盘一!一喜10,同理一江A.故方q 却17. A 由条件得力一】多通，两边平寺将4/一41-2ML. H 5+普用if图+浮产.则m1。仙不1.1,如图,/微冶=3/.上人此=45*,。占=加.过A
12、作的延长线于。,设BC”*则AC=j-+GA = 配.由句股定理寿皿7+(X5 = QV,即/+57=(h产，得 8=而工,所以h+20=氏解得,匚 (JdTT+lQXftlfi )由。|四一6 一之UL如1、占同号.旦一HO -叱1，原式、(-J- )l-y - = (勺一8) 白 10 奇庄(1)当*8同为正效时，由上 ,用4占Ka-b= tb *故原式3 (1-生)二 一冬一一二、, aa十工迎白.， a a Ca t I?.0+ 口(2当“J同为我敷时.由虺：,得出A& JM。一占=一生，解得后=7.放原式=+(1 +2)=卑=aa日- 1 。冷 工 。, aa27,源式=0 + l - g- Iu + l+ jfi _ 11Mfu-n于时+原式=工，当口Val时,簟式=/ *口,由-跖=6而，得JT-Z遍一口+h)T Q 即T-尸一/7而一2 反 左边为拉数,右边也必为整数，但更为 无理段,只有左右两边都是零.或存在整数M*0),使2-2 4只有出=口时才戢立.从而小,工得仃，。= 了 H +。6)或12.3)故土 + 3中M=f+N =那或增
