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1、精品资源第二十八讲计数方法所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来.当研究的对象比较简单， 且数目也不大时，枚举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可.当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：加法原理：做一件事，完成它可以有 n类办法，在第一类办法中有 mi种不同的方法， 在第二类力法中有 m2种不同的方法，在第 n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这 件事共有N = m1 + m2+, +mn种不同的方法.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 mi种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第n
2、步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=mi m2 , mn种不同的方法.例题【例1】 如图，从甲地到乙地共有 4条路可走，从乙地到丙地有 3条路可走，从甲地到丙地有5条路可走，那么从甲地到丙地共有条路可走.（重庆市竞赛题）思路点拨 从甲地到丙地可分两类办法；直达和转乙地.注：计数方法原理属于组合数学这门范畴，随着计算机科学的迅猛发展，教学学科原有的平衡被打破了，组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力.使用乘法原理与加法原理的不同之处在于： 在用加法原理时，完成一件事有几类方法， 不论用哪一类方法， 都能完成这件事；而用乘法原理时， 完成一件事情可分为几步，只有每 步都完成了，这件事情
3、才得以完成.【例2】 右图中的小方格是边长为 1的正方形，则从到中一共可以数出（）个正方形.A. 24 B. 210 C 50 D. 90（“五羊杯”邀请赛题） 思路点拨 图中的正方形可以分成边长为I,边长为2,边长为3,边长为4这4种类型，分别求出每种规格的正方形个数.【例3】我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点L般地，n条直线最多有多少个交点 ？说明理由.思路点拨 从特殊情况人手，由简到繁，深入思考，从中发现规律.【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字，可以组成（1）多少个四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶
4、数？（2）多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个奇数，多少个偶数？思路点拨 要确定四位数，必须一位一位来考虑，显然计数时，需要用乘法原理，（2）问与(1)问的差别在于，增加了 “没有重复”的限制.【例5】 两条平行直线上各有 n个点，用这n对点按如下规则连接线段：同一直线 上的点之间不连接.连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点.(1)画图说明当n=1, 2, 3时，连接的线段最多各有多少条？(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条，证明你的结论;(3)当n= 2003时，所连接的线段最多有多少条？nn(“希望杯”邀请赛试题 思路点拨把直线标记为分别为
5、人An A2, A3, , A 之间连接的直线段最多有 Pi 的关系.注：运用枚举法进行列举时,欢迎下载合使用，几何计数有以下常见分类方式:(1)按图形的类型分类；(2)按图形的大小分类；(3)选定参照图形分类.解几何计数问题时，从特殊情况入手，仔细观察、归纳，递推，猜想，发现规律.是 一种行之有效的方法.注：你知道这些结论吗 ？1(1)在一条直线上若有 n个点，则图中以这些点为端点共有2n(n-1)条线段，共有 2n条射线；1 ,(2)平面面上若有n个点，经过其中每两点回一条直线，则最多可以回2 n(n-1)条直线；1(3)平面上若有n条直线两两相交，则交点个数最多有2 n(n-1)个；1,
6、八一一(4)从一点引出n条射线(其中任何两条射线都不共线 )，则图中共有n(n-1)个小于平 角的角.学历训练1 .第一个口袋中装 2个球，第二个口袋中装 4个球，第三个口袋中装 5个球，所有三个口 袋中的球各不相同.(1)从口袋中任取一个球，共有 种不同的取法.(2)从三个口袋中各取一个球，有 种不同的取法.2 .如图，在四个正方形拼接成的图形.中，以A1、A2、A3、，A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成一个等腰直角三角形.(泉州市中考题)(第4题)3 .画一条直线，可将平面分成2个部分，画2条直线，最多可将平面分成 4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成 个部分.（“希望杯”邀请
7、赛试题）4 . 一条信息可通过如图的网络线由上 （A点）往下向各站点传送.例如信息到 b2；点可由经 ai的站点送达，也可由经 a2的站点送达，共有两条途径传送，则信息由 A点到达d3的不同 途径共有（ ）.A. 3 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 12 条（南宁市中考题）5 .如图，图中不同的线段的条数有（）.A. 52 条 B. 63 条C. 141 条 D. 154 条（第5题）6 .平面内的7条直线任两条都相交，交点数最多有a个，最少有b个，则a+b等于（）.A. 42 B. 41C. 21 D. 22（北东市竞赛题）7 .如图，在表板上有 4个开关，如果相邻的 2个开关不能同时
8、是关的，那么所有不同的状 态有（）.A. 4 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 12 种（江苏省竞赛题）8 .如图，左右相邻两点，上下相邻两点之间距离都等于1厘米，把这些点连接起来，作为三角形的顶点，那么可以组成多少个直角三角形？9 .用数字0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个（1）四位数？（2）四位偶数？（3）没有重复数字的四位数 ？（4）没有重复数字的四位偶数 ？10 . 5人站成一排照相，其中一人必须站在中间，有 种站法.11 .在l到300这300个自然数中，不含有数字 3的自然数有 个.12 .跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格；在格中，每次可向前跳 l格或2格，那么人从
9、格外跳到第6格可以有 种方法.（江苏省竞赛题）13 .如图，由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“X”在内的长方形及正方形一共有 个.（北京市“迎春杯”竞赛题）14 .如图，正方形被分成 9个相同的小正方形，一共 16个顶点，以其中不在同一直线上的3个顶点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影面积相等的三角形有 个.15.如图，一共能数出（）个长方形（正方形也算作长方形）.A. 64B. 63 C. 60 D. 48（2000年“五羊杯”竞赛题）16 .如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指数轮子上的一个数字，若左图轮子上方
10、的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭n,其中a+b恰为偶数的不同数对的个数头指着的数字为b,数对（a, b）所有可能的个数为为m,则m等于(nA . 1B.2).16123 D.4（山东省竞赛题） ）种不同的走法.17 .如图，从A点到B点（只从左向右，从上到下），共有（A. 24 B. 20 C. 16 D. 12（重庆市竞赛题）18 .平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分L般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分？19 . 5个人站成一排照相.（1）若甲、乙两人必须相邻，则有多少不同的站队方法？（2）若甲、乙两人必不相邻，则有多少不同的站队方法？20.将编号为1, 2, 3, 4, 5的
11、5个小球放人编号为1, 2, 3, 4, 5的5个盒子中，每个盒 子中只放入一个.（1） 一共有多少种不同的方法 ？（2）若编号为1的球恰好放在1号盒子中，共有多少种不同的放法？（3）若至少有一个球放入了同号的盒子中（即对号放入）共有多少种不同的放法？（“希望杯”邀请赛试题）参考答案园计数方法1例题求解】例I L?提示找存3又d-5 = 1*条)路可走例2选右 提示边氏为的正厅形为&然6个,边摄为普的正方形制3*5个.边比为3的正有佬有2X4个.边民为4的正 方形有1X3个，共有IX% + 3X54ZX*+iX3T5。工个)提承三条直我的情招若产阖上已在两条FL虱再津一条女战，阐送条直线和晚来平面上的脚条宜线存有一个交点,所 以有”之个交点,同理/塞电线的情形为花原来三条.宜线的基盘上岸加一条宣线共多出3个变点*所以南1+2+3 个交点.一般地川条直霞曲的相交.其交点数为I 2，去仙 ”个.提示NI)这个四位数的晶而位,不能是0.故最高位有G种选法才即选1-6中的任一个数字建式余酱彼可以从心6这 7个里/中任速撤共有6X7X7X7-2O$fi个四归段，在这些国检数中.奇散的个数也”用案跟方法获随由一号父7 xa=382 个.有偶颗 2058-832-1176 个一t 1X X3X2 = &
