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1、让更多的孩子得到更好的教育一元二次方程的应用-知识讲解要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1 .利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系2 .解决应用题的一般步骤：审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 ）；设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；歹U （根据题目中的等量关系，列出方程 ）；解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答（写出答案，切忌答非所问）.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1 .数字问题（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位，它们数位上的单位从右至左依次
2、分别为：1、10、100、1000、，数位上的数字只能是0、1、2、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为：100c+10b+a.（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为X,则另两个数分别为 x-1 , x+1.几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2.如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x,则另两个数分别为 x-2, x+2.2 .平均变化率问题列
3、一元二次方程解决增长 （降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.（1）增长率问题：平均增长率公式为 a（1+x）n =b （a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）（2）降低率问题：平均降低率公式为 a（1-x）n=b （a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）3 .利息问题（1）概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金 .利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数 .利率：每个期数内的利息与本金的
4、比叫利率（2）公式：利息=本金x利率x期数利息税=利息700.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染白电脑会超过700台.举一反三：1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是()A . 1331 B . 1210 C . 1100 D , 1000【答案】设每人每轮传染 x人，则(1+x) 2=121, x1= 10, x2=-12舍去， 第三轮传染后患流感人数为121(1 + 10) =1331人.2、某产品原来每件是 600元，由于连续两次降价，现价为 384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答
5、案】设平均每次降价率为x ,则第一次降价为600x ,降价后价格为：600 600x = 600(1 x),第二次降价为：600(1 - x) x ,降价后价格为:600(1 - x) - 600(1 -x) x = 600(1 - x)2.根据题意列方程，得： 600(1 - x)2 =384(1 -x)21625459一人，、一,一一一、，人x2 =不合题意，舍去(注意根的实际意义的检验)51 nx1 = 5 = 20 00答：平均每次下降率为 20%.类型三、利润(销售)问题 3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为 a元，则可卖出(350-1
6、0a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？【答案】设每件商品的售价为 a元.根据题意，得(a-21)(350-10a)=400.a 2-56a+775 = 0,(a-25)(a-31)=0,，a-25 =0或 a-31=0,a i = 25, a2= 31.当a=31时，加价31-21 =10,不合题意，舍去.350-10a =350-10 X 25=100.答：每件商品售价为 25元，需要卖出100件商品.举一反三：【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决
7、定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫降价 1元，商场平均每天可 多售出2件.(1) 若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？(2) 每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多【答案】(1)设每件衬衫应降价 x元.根据题意，得(40-x)(20+2x) = 1200,整理得：x2-30x+200 = 0.解得xi=20, x2=10,因为要尽快减少库存，所以 x应取20.答：每件衬衫应降价 20元.(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x) =-2(x-15) 2+1250,当 x= 15 时，代数式-2(x-15) 2的值最大，即-2(x-15) 2
8、+1250 有最大值为 1250.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元.类型四、形积问题命“ 4 .如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长.【答案】设草坪ABCD勺BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240 = 0,(x-12)(x-20)=0.解得：x1=12, x2= 20又由题意知：BCX 16. x =20(不合题意，舍去).该矩形草坪BC边的长为12米.类型五、行程问题 5. 一辆汽车以20ms的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25
9、m后停车.(1)从刹车到停车用了多少时间？(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s) ?【答案】(1)已知刹车后滑行路程为 25nl如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间.为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的.这20 0段时间内的平均车速等于取大速度与取小速度的平均值，即= 10(m/s),于是刹车到停车2的时间为“行驶路程 +平均车速”，即25+10 = 2.5(s).(2)从刹车到停车平均每秒车速减少值为(初速度-末速度)4车速变化时间”20 -02即一0-0 = 8(
10、m/s2).2.5(3)设刹车后汽车行驶到 15m用了 X s,由(2)可知，这时车速为(20-8x)m/s.这段路程内的20 (20 -8x)平均车速为 (m/s),即(204x)m/s2由速度x时间=路程，得(204x)x = 15.解方程，得x =510 .2根据问题可知，20-4X 0 ,即xv 5,又xv 2.5；所以x = 5-标片0.92刹车后汽车行驶到 15m时约用了 0.9 s .【巩固练习一】一、选择题1 .在一幅长80cm宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果 要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么x满
11、足的方程是().A . x2+130x-1400 = 0 B . x2-65x-350 =0 C . x2-130x-1400 =0 D , x2+65x-350 = 02 .为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到12.1m2,若每年的年增长率相同，则年增长率为()A . 9% B . 10% C . 11% D . 12%3 .某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是().A . 50(1+x) 2=182 B . 50+50(1+x)+50(1+x) 2=182C . 50(1+2x) = 182 D . 50+50(1+x)+50(1+2x) = 1
