《专题02 2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法立体几何中的外接球与内切球问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题02 2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法立体几何中的外接球与内切球问题（解析版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题 立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下：一、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长例1.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A. B.56 C.14 D.64分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。解析： C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c，则，得令球的半径为R，则。变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12，那么这个正方体的体积是( )A. B4 C8 D24解析： C 设球的半径为R，则4R
2、212，从而R，所以正方体的体对角线为2，故正方体的棱长为2，体积为238，故选C.二、有些三棱锥可以补体为长方体1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球例2已知三棱锥PABC中，PB平面ABC，ABC90，PA，ABBC1，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为()A12B6C24 D.解析：答案为 B如图，PB平面ABC，PBAB，AB1，PA，PB2，又ABBC，把三棱锥PABC补形为长方体，则长方体对角线长为，则三棱锥PABC外接球的半径为，三棱锥PABC的外接球的表面积为46.故选B.变式球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ）ABCD解析：D 由题意可知，该球是一个棱
3、长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球例3在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（ ）AB100CD解析：答案为C。对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C变式.在三棱锥中，,则三棱锥外接球的表面积为_.解析：补形为长方体，三个长度为相邻三个面的对角线长，设长方体的长宽高分辨为a,b,c,则。，, .三、正棱锥的外接球例4在正四棱锥中，已知，若、都在球的表面上,则球的表面积是
4、四边形面积的（ ）A2倍B倍C倍D倍解析：答案为D。设正四棱锥的底面的边长为，则四边形的面积为，从向作平面，则垂足为底面的中心，因为，所以侧面都是边长为的等边三角形，则，所以，所以球的表面积，所以，所以选D变式正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A B16 C9 D解析：A 设正四棱锥PABCD，外接球心O在PE上，半径为R，AEAC，OEPEPO4R，OA2AE2OE2，R22(4R)2，R，S4R2，故选A.四、侧棱与底面垂直的棱锥的外接球例5.体积为的三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，则球O的体积的
5、最小值为()A. B.C. D.解析：答案为B设ABc，BCa，ACb，由题可得SABC2，解得SABC.因为ABC120，SABCacsin 120，所以ac6，由余弦定理可得b2a2c22accos 120a2c2ac2acac3ac18，当且仅当ac时取等号，此时bmin3.设ABC外接圆的半径为r，则2r(b最小，则外接圆半径最小)，故2rmin，所以rmin.如图，设O1为ABC外接圆的圆心，D为PA的中点，R为球的半径，连接O1A，O1O，OA，OD，PO，易得OO11，R2r2OOr21，当rmin时，R617，Rmin，故球O体积的最小值为R()3.变式。已知，平面ABC，若，
6、则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的体积为（）ABCD解析：D 取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得，又因为，所以平面，所以，在，同理，所以，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在中，在中，球O的半径，所以球的体积为，故选：D.五、侧面与底面垂直的三棱锥的外接球例6.三棱锥的一条长为，其余棱长均为，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 解析：A 不妨设。底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为a，其余棱长均为1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径。经过这个四面体所有顶点的球的表
7、面积：.故选A。变式. 4.(2019广州模拟)三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.23 B. C.64 D.解析：答案为D如图，设O为正PAC的中心，D为RtABC斜边的中点，H为AC中点.由平面PAC平面ABC.则OH平面ABC.作OOHD，ODOH，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又OPPH2，OODHAB2.R2OP2OP2OO24.故几何体外接球的表面积S4R2.六、有两个侧面为有公共斜边的直角三角形的三棱锥例7.在矩形ABCD中，,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角,则四面体ABCD的外接球的
8、体积为（ ）A. B. C. D. 解析：,.变式. 在矩形ABCD中，,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥的外接球的表面积为_.解析：BD的中点是球心O, .七、三棱锥的内切球问题例8在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD面ABCD，且PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为_解析：答案为(146)四棱锥PABCD的体积为VPDS正方形ABCD122，如图所示，易证PDAD，PDCD，PAAB，PCBC，所以，四棱锥PABCD的表面积为S221222262，所以，四棱锥PABCD的内切球的半径为R，因此，此球的最大表面积为4R242(146).变
9、式已知球在底面半径为1高为的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为_.解析： 易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点为边上的中点，由题设，求得，设内切圆的圆心为，内切圆半径为故， 则，解得：，其体积：.故答案为：.小试牛刀1.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于()A2 B.C. D.1.D. 由V球R3，R2.设正方体的棱长为a，则3a2(2R)216.a2，a.2若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5则长方体外接球的表面积为（ ）ABCD2C 设球的半径为，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则，故选C3将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的
10、球，则该球的体积为（ ）ABCD3A 体积最大的球即正方体的内切球，因此，体积为，故选A4. 若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则（ ）A. B. C. D. 4.D 设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则故选D5.已知菱形边长为2， ，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为_5. 当平面平面时，四面体体积是最大，当体积最大时，设外心为， 外心为，过，分别作平面面与平面的垂线交于，则即是外接球的球心， ，外接球表面积，故答案为.6已知三棱锥中，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD6.B 如
11、图，所以的外接圆的圆心为斜边的中点,，为等腰三角形.取的中点，连接，,又面面，面面，面，面，过点作的平行线，则球心一定在该直线上.设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,由球的性质则，平面，则为矩形.在中，,则所以的外接圆的半径所以，则则所以球的半径为所以三棱锥的外接球的表面积为故选：B7.设正三棱锥的所有顶点都在球的球面上， ， 分别是， 的中点， ，且，则球的表面积为_7. E,F分别是AB,BC的中点，EFAC,又EFDE,ACDE,取BD的中点O,连接AO,CO.三棱锥为正三棱锥，,又, ,又,同理可知：正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直。，则侧棱长均为2，将正三棱锥恢复为棱长为2的正方体，其外接球为同一球，正方体的体对角线长为外接球的直径，因此,球O的表面积为。8在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形，且平面，若，则三棱锥外接球的表面积为_.8. 把三棱锥放在以的长度为棱长的长方体中，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，则三棱锥PABC外接球的表面积S=故答案为：25.9三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA平面ABC，ABC是正三角形，PA2BC4，则该球的表面积为_9.球心应位于过正三角形ABC的中心且垂直于平面ABC的直线上，又PA平面ABC，PA4，所以球心O到平面ABC的距离为2，所以球的半径r，所以球的表面积为S4r2.
