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1、绝密 启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数，则在复数平面的点位于第（）象限A一B二C三D四答案：B解：，所以复数在复数平面
2、内对应的点为，位于第二象限，故选B2已知集合，则集合的真子集的个数为（）ABCD答案：A解：集合，故其真子集的个数为个，故选A3双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）ABCD答案：A解：由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，解得，故选A4在中，已知为上一点，且满足，则（）ABCD答案：D解：由题可得，故选D5已知的平均数为5，方差为1，则，的平均数和方差分别为（）A11，3B11，4C10，1D10，4答案：B解：，故选B6函数的图象大致是（）ABCD答案：B解：，令，则，故为上的奇函数，故的图象关于对称，故排除C；又当时，令，则，故，故当时，故排除D；而，故排除A，故选B
3、7已知，则“存在使得”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：A解：因为余弦函数的周期为，最大值为2，最小值为，所以对于函数，若存在使得，则当时，函数的值域为，；另一方面，不妨取，则不存在，使得，故“存在使得”是“”的充分不必要条件，故选A8已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若，则B若，且，则C若，且，则D若，则答案：C解：A选项，当，时，不能得出，故该选项不正确；B选项，由题得或相交，所以该选项错误；C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；D选项，时，不能得出，故该选项错误，故选C9投两枚质地均匀的骰子，记事件为“向上
4、的点数之和为偶数”，记事件为“向上的点数之和为3的倍数”，则的值为（）ABCD答案：B解：投两枚质地均匀的骰子总的可能发生的情况有种，其中点数之和为偶数的可能情况有18种，点数之和为3的倍数的可能情况为，总共12种，所以，故选B10若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法中正确的个数有（）（）为等差数列；为等比数列；为等比数列；为等差数列；为等比数列A2B3C4D5答案：C解：设数列的公差为，数列的公比为，对于：，故正确；对于：，故正确；对于：，故正确；对于：不为定值，故错误；对于：，故正确，所以正确的个数有4个，故选C11已知直线与圆相交于两点，且这两个交点关于直线对称，则的值分别为（）
5、ABCD答案：B解：直线与圆的两个交点关于直线对称，直线经过圆心且直线与直线垂直，解得，故选B12已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD答案：B解：设，则，由余弦定理得，即，所以，因为，所以，整理得，即，整理得，所以，故选B第卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13下列三句话按“三段论”模式排列顺序是_（）是三角函数；三角函数是周期函数；（）是周期函数答案：解：三段论为：大前提，小前提，结论，所以排序为：三角函数是周期函数；（）是三角函数；（）是周期函数故选14若函数的值域为，试确定的取值范围是_答案：解：令，则；
6、令，解得或，即或，解得或，故的取值范围是15在中，内角，所对的边分别为，且，则的周长的最大值是_答案：6解：因为，所以，即，所以可得，所以，解得，当且仅当时等号成立，故，所以的周长的最大值为616已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为_答案：解：因为，易得为奇函数，且为增函数；又因为，所以在上恒成立在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，设，所以，且，当时，所以在上递增，所以，满足；当时，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，这与矛盾，所以不满足，综上可知：，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列满足，（1
7、）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和答案：（1）证明见解析；（2）解：（1）依题，在两边同时除以，得，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）得，可得，所以，则数列的前项和为，所以，由可得，所以18（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数
8、据用该组区间的中点值作代表）；（2）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计（参考公式：，期中）答案：（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）填表见解析，有的把握认为解：（1）由题意知，解得，样本平均数为，中位数650，众数600（2）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生105060女生152540合计2575100，所以有的把握认为该市市名属于“高分
9、选手”与性别有关19（12分）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离答案：（1）证明见解析；（2）解：（1）连接，平面，平面，平面（2） 设点到平面的距离为，点到平面的距离为，依题可得，又平面，四边形为正方形，又平面，所以，平面，所以，依题可得，即点到平面的距离为20（12分）已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标答案：（1）；（2）直线恒过定点，定点为解：（1）因为椭
10、圆的离心率所以，即，又椭圆的短轴长为2，所以，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，联立方程组，消去，得，即，因为所在的直线与所在的直线关于轴对称，所以，即，得，化简得，直线的方程为，所以，直线恒过定点21（12分）已知函数（）（1）若函数在处取得极小值，求在点处的切线方程；（2）当时，若，恒有，则实数的取值范围是多少？答案：（1）；（2）解：（1）因为，所以，由题意可得，即，解得，所以，所以，所以在点处的切线方程为（2）当时，又，不等式等价于，可化为为，令，由题可得对，当时，不等式恒成立，即在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，所以实数m
11、的取值范围为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值答案：（1），；（2）解：（1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为，即，由极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（2）设，将直线的方程为（为参数）代入曲线的方程：，得，所以，所以23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为，若，为正实数且，证明答案：（1）；（2）证明见解析解：（1）由，所以；，综上所述：，所以不等式的解集为（2）证明：，函数的最小值为8，即，所以，由，为正实数，当且仅当时，即，时等号成立，
